Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45333 / 95085
↖ ↑ ↗
← S 62.730826°
W 55.489197°		 ← 139.91 m → S 62.730826°
W 55.486450°		 →
↑
139.97 m
↓
↑
139.97 m
↓
S 62.732084°
W 55.489197°		 ← 139.90 m →
19 583 m²		 S 62.732084°
W 55.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345867156982422 y=0.725444793701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345867156982422 × 217)
    floor (0.345867156982422 × 131072)
    floor (45333.5)     		tx = 45333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725444793701172 × 217)
    floor (0.725444793701172 × 131072)
    floor (95085.5)     		ty = 95085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45333 / 95085 ti = "17/45333/95085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45333/95085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45333 ÷ 217
    45333 ÷ 131072     		x = 0.345863342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95085 ÷ 217
    95085 ÷ 131072     		y = 0.725440979003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345863342285156 × 2 - 1) × π
    -0.308273315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96846918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725440979003906 × 2 - 1) × π
    -0.450881958007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41648744687304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96846918} λ = -0.96846918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41648744687304))-π/2
    2×atan(0.242564543107684)-π/2
    2×0.237968436161122-π/2
    0.475936872322245-1.57079632675     		φ = -1.09485945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96846918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09485945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.730826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45333 KachelY 95085 -0.96846918 -1.09485945 -55.489197 -62.730826
    Oben rechts KachelX + 1 45334 KachelY 95085 -0.96842125 -1.09485945 -55.486450 -62.730826
    Unten links KachelX 45333 KachelY + 1 95086 -0.96846918 -1.09488142 -55.489197 -62.732084
    Unten rechts KachelX + 1 45334 KachelY + 1 95086 -0.96842125 -1.09488142 -55.486450 -62.732084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09485945--1.09488142) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dl = 139.970870000948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09485945--1.09488142) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dr = 139.970870000948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96846918--0.96842125) × cos(-1.09485945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.458171404060151 × 6371000     		do = 139.908150031843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96846918--0.96842125) × cos(-1.09488142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.458151875610537 × 6371000     		du = 139.902186784827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09485945)-sin(-1.09488142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458171404060151-0.458151875610537)×R²
    abs(-0.96842125--0.96846918)×1.9528449613726e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9528449613726e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9528449613726e-05×40589641000000     		ar = 19582.6481405093m²