Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45328 / 94897
↖ ↑ ↗
← S 62.493296°
W 55.502930°		 ← 141.06 m → S 62.493296°
W 55.500183°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
S 62.494565°
W 55.502930°		 ← 141.06 m →
19 897 m²		 S 62.494565°
W 55.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345829010009766 y=0.724010467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345829010009766 × 217)
    floor (0.345829010009766 × 131072)
    floor (45328.5)     		tx = 45328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724010467529297 × 217)
    floor (0.724010467529297 × 131072)
    floor (94897.5)     		ty = 94897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45328 / 94897 ti = "17/45328/94897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45328/94897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45328 ÷ 217
    45328 ÷ 131072     		x = 0.3458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94897 ÷ 217
    94897 ÷ 131072     		y = 0.724006652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724006652832031 × 2 - 1) × π
    -0.448013305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.40747530974447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96870887} λ = -0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40747530974447))-π/2
    2×atan(0.244760448068671)-π/2
    2×0.240041273213744-π/2
    0.480082546427488-1.57079632675     		φ = -1.09071378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09071378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.493296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45328 KachelY 94897 -0.96870887 -1.09071378 -55.502930 -62.493296
    Oben rechts KachelX + 1 45329 KachelY 94897 -0.96866093 -1.09071378 -55.500183 -62.493296
    Unten links KachelX 45328 KachelY + 1 94898 -0.96870887 -1.09073592 -55.502930 -62.494565
    Unten rechts KachelX + 1 45329 KachelY + 1 94898 -0.96866093 -1.09073592 -55.500183 -62.494565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09071378--1.09073592) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09071378--1.09073592) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96870887--0.96866093) × cos(-1.09071378) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.461852392556089 × 6371000     		do = 141.061608767448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96870887--0.96866093) × cos(-1.09073592) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.461832755219313 × 6371000     		du = 141.055611019332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09071378)-sin(-1.09073592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461852392556089-0.461832755219313)×R²
    abs(-0.96866093--0.96870887)×1.96373367759572e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96373367759572e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96373367759572e-05×40589641000000     		ar = 19896.8726973657m²