Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45322 / 95146
↖ ↑ ↗
← S 62.807489°
W 55.519409°		 ← 139.57 m → S 62.807489°
W 55.516662°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
S 62.808744°
W 55.519409°		 ← 139.57 m →
19 474 m²		 S 62.808744°
W 55.516662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345783233642578 y=0.725910186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345783233642578 × 217)
    floor (0.345783233642578 × 131072)
    floor (45322.5)     		tx = 45322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725910186767578 × 217)
    floor (0.725910186767578 × 131072)
    floor (95146.5)     		ty = 95146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45322 / 95146 ti = "17/45322/95146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45322/95146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45322 ÷ 217
    45322 ÷ 131072     		x = 0.345779418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95146 ÷ 217
    95146 ÷ 131072     		y = 0.725906372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.308441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96899649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725906372070312 × 2 - 1) × π
    -0.451812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41941159774986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96899649} λ = -0.96899649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41941159774986))-π/2
    2×atan(0.241856283819452)-π/2
    2×0.237299425024646-π/2
    0.474598850049293-1.57079632675     		φ = -1.09619748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96899649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09619748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.807489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45322 KachelY 95146 -0.96899649 -1.09619748 -55.519409 -62.807489
    Oben rechts KachelX + 1 45323 KachelY 95146 -0.96894855 -1.09619748 -55.516662 -62.807489
    Unten links KachelX 45322 KachelY + 1 95147 -0.96899649 -1.09621938 -55.519409 -62.808744
    Unten rechts KachelX + 1 45323 KachelY + 1 95147 -0.96894855 -1.09621938 -55.516662 -62.808744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09619748--1.09621938) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dl = 139.524899999415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09619748--1.09621938) × R
    2.18999999999081e-05 × 6371000     		dr = 139.524899999415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96899649--0.96894855) × cos(-1.09619748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456981667764628 × 6371000     		do = 139.573964043354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96899649--0.96894855) × cos(-1.09621938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456962188128172 × 6371000     		du = 139.568014460975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09619748)-sin(-1.09621938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456981667764628-0.456962188128172)×R²
    abs(-0.96894855--0.96899649)×1.947963645621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.947963645621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.947963645621e-05×40589641000000     		ar = 19473.6283190619m²