Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4532 / 13084
↖ ↑ ↗
← S 72.580828°
W 80.419922°		 ← 731.40 m → S 72.580828°
W 80.397949°		 →
↑
731.33 m
↓
↑
731.33 m
↓
S 72.587405°
W 80.419922°		 ← 731.13 m →
534 795 m²		 S 72.587405°
W 80.397949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276641845703125 y=0.798614501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276641845703125 × 214)
    floor (0.276641845703125 × 16384)
    floor (4532.5)     		tx = 4532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798614501953125 × 214)
    floor (0.798614501953125 × 16384)
    floor (13084.5)     		ty = 13084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4532 / 13084 ti = "14/4532/13084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4532/13084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4532 ÷ 214
    4532 ÷ 16384     		x = 0.276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13084 ÷ 214
    13084 ÷ 16384     		y = 0.798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40359242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.59716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87605850353052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40359242} λ = -1.40359242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87605850353052))-π/2
    2×atan(0.153192725952528)-π/2
    2×0.152010946056657-π/2
    0.304021892113315-1.57079632675     		φ = -1.26677443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40359242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26677443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.580828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4532 KachelY 13084 -1.40359242 -1.26677443 -80.419922 -72.580828
    Oben rechts KachelX + 1 4533 KachelY 13084 -1.40320893 -1.26677443 -80.397949 -72.580828
    Unten links KachelX 4532 KachelY + 1 13085 -1.40359242 -1.26688922 -80.419922 -72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 4533 KachelY + 1 13085 -1.40320893 -1.26688922 -80.397949 -72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26677443--1.26688922) × R
    0.000114790000000031 × 6371000     		dl = 731.327090000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26677443--1.26688922) × R
    0.000114790000000031 × 6371000     		dr = 731.327090000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40359242--1.40320893) × cos(-1.26677443) × R
    0.000383490000000153 × 0.299360070953427 × 6371000     		do = 731.400952889153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40359242--1.40320893) × cos(-1.26688922) × R
    0.000383490000000153 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 731.133353126101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26677443)-sin(-1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299360070953427-0.29925054322621)×R²
    abs(-1.40320893--1.40359242)×0.00010952772721684×R²
    0.000383490000000153×0.00010952772721684×6371000²
    0.000383490000000153×0.00010952772721684×40589641000000     		ar = 534795.479608956m²