Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45317 / 94900
↖ ↑ ↗
← S 62.497102°
W 55.533142°		 ← 141.01 m → S 62.497102°
W 55.530396°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.498370°
W 55.533142°		 ← 141.01 m →
19 881 m²		 S 62.498370°
W 55.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345745086669922 y=0.724033355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345745086669922 × 217)
    floor (0.345745086669922 × 131072)
    floor (45317.5)     		tx = 45317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724033355712891 × 217)
    floor (0.724033355712891 × 131072)
    floor (94900.5)     		ty = 94900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45317 / 94900 ti = "17/45317/94900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45317/94900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45317 ÷ 217
    45317 ÷ 131072     		x = 0.345741271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94900 ÷ 217
    94900 ÷ 131072     		y = 0.724029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345741271972656 × 2 - 1) × π
    -0.308517456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96923617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.44805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40761912044333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96923617} λ = -0.96923617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40761912044333))-π/2
    2×atan(0.244725251428469)-π/2
    2×0.24000806567404-π/2
    0.48001613134808-1.57079632675     		φ = -1.09078020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96923617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.533142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09078020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.497102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45317 KachelY 94900 -0.96923617 -1.09078020 -55.533142 -62.497102
    Oben rechts KachelX + 1 45318 KachelY 94900 -0.96918824 -1.09078020 -55.530396 -62.497102
    Unten links KachelX 45317 KachelY + 1 94901 -0.96923617 -1.09080233 -55.533142 -62.498370
    Unten rechts KachelX + 1 45318 KachelY + 1 94901 -0.96918824 -1.09080233 -55.530396 -62.498370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09078020--1.09080233) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09078020--1.09080233) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96923617--0.96918824) × cos(-1.09078020) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.461793479866628 × 6371000     		do = 141.014194452597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96923617--0.96918824) × cos(-1.09080233) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.461773850720715 × 6371000     		du = 141.008200456754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09078020)-sin(-1.09080233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461793479866628-0.461773850720715)×R²
    abs(-0.96918824--0.96923617)×1.96291459131914e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96291459131914e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96291459131914e-05×40589641000000     		ar = 19881.2011626543m²