Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45311 / 95333
↖ ↑ ↗
← S 63.041266°
W 55.549621°		 ← 138.44 m → S 63.041266°
W 55.546875°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.042511°
W 55.549621°		 ← 138.43 m →
19 165 m²		 S 63.042511°
W 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345699310302734 y=0.727336883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345699310302734 × 217)
    floor (0.345699310302734 × 131072)
    floor (45311.5)     		tx = 45311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727336883544922 × 217)
    floor (0.727336883544922 × 131072)
    floor (95333.5)     		ty = 95333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45311 / 95333 ti = "17/45311/95333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45311/95333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45311 ÷ 217
    45311 ÷ 131072     		x = 0.345695495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95333 ÷ 217
    95333 ÷ 131072     		y = 0.727333068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345695495605469 × 2 - 1) × π
    -0.308609008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96952379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727333068847656 × 2 - 1) × π
    -0.454666137695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.42837579797881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96952379} λ = -0.96952379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42837579797881))-π/2
    2×atan(0.239697924102237)-π/2
    2×0.235259337190045-π/2
    0.470518674380089-1.57079632675     		φ = -1.10027765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96952379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.549621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10027765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.041266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45311 KachelY 95333 -0.96952379 -1.10027765 -55.549621 -63.041266
    Oben rechts KachelX + 1 45312 KachelY 95333 -0.96947586 -1.10027765 -55.546875 -63.041266
    Unten links KachelX 45311 KachelY + 1 95334 -0.96952379 -1.10029938 -55.549621 -63.042511
    Unten rechts KachelX + 1 45312 KachelY + 1 95334 -0.96947586 -1.10029938 -55.546875 -63.042511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10027765--1.10029938) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10027765--1.10029938) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96952379--0.96947586) × cos(-1.10027765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453348660221481 × 6371000     		do = 138.435467183097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96952379--0.96947586) × cos(-1.10029938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.453329291442564 × 6371000     		du = 138.429552693448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10027765)-sin(-1.10029938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453348660221481-0.453329291442564)×R²
    abs(-0.96947586--0.96952379)×1.93687789172836e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93687789172836e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93687789172836e-05×40589641000000     		ar = 19164.850008064m²