Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45311 / 20737
↖ ↑ ↗
← N 54.974461°
E 68.900757°		 ← 350.59 m → N 54.974461°
E 68.906250°		 →
↑
350.60 m
↓
↑
350.60 m
↓
N 54.971308°
E 68.900757°		 ← 350.62 m →
122 921 m²		 N 54.971308°
E 68.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691398620605469 y=0.316429138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691398620605469 × 216)
    floor (0.691398620605469 × 65536)
    floor (45311.5)     		tx = 45311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316429138183594 × 216)
    floor (0.316429138183594 × 65536)
    floor (20737.5)     		ty = 20737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45311 / 20737 ti = "16/45311/20737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45311/20737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45311 ÷ 216
    45311 ÷ 65536     		x = 0.691390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20737 ÷ 216
    20737 ÷ 65536     		y = 0.316421508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691390991210938 × 2 - 1) × π
    0.382781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20254506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316421508789062 × 2 - 1) × π
    0.367156982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15345767865779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20254506} λ = 1.20254506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15345767865779))-π/2
    2×atan(3.16913182664225)-π/2
    2×1.26514083821313-π/2
    2.53028167642625-1.57079632675     		φ = 0.95948535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20254506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.900757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95948535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.974461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45311 KachelY 20737 1.20254506 0.95948535 68.900757 54.974461
    Oben rechts KachelX + 1 45312 KachelY 20737 1.20264094 0.95948535 68.906250 54.974461
    Unten links KachelX 45311 KachelY + 1 20738 1.20254506 0.95943032 68.900757 54.971308
    Unten rechts KachelX + 1 45312 KachelY + 1 20738 1.20264094 0.95943032 68.906250 54.971308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95948535-0.95943032) × R
    5.5030000000067e-05 × 6371000     		dl = 350.596130000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95948535-0.95943032) × R
    5.5030000000067e-05 × 6371000     		dr = 350.596130000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20254506-1.20264094) × cos(0.95948535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.573941507041896 × 6371000     		do = 350.593019009743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20254506-1.20264094) × cos(0.95943032) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.573986570036106 × 6371000     		du = 350.620545806449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95948535)-sin(0.95943032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573941507041896-0.573986570036106)×R²
    abs(1.20264094-1.20254506)×4.50629942095881e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.50629942095881e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.50629942095881e-05×40589641000000     		ar = 122921.381095347m²