Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45310 / 20735
↖ ↑ ↗
← N 54.980766°
E 68.895264°		 ← 350.50 m → N 54.980766°
E 68.900757°		 →
↑
350.53 m
↓
↑
350.53 m
↓
N 54.977613°
E 68.895264°		 ← 350.53 m →
122 867 m²		 N 54.977613°
E 68.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691383361816406 y=0.316398620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691383361816406 × 216)
    floor (0.691383361816406 × 65536)
    floor (45310.5)     		tx = 45310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316398620605469 × 216)
    floor (0.316398620605469 × 65536)
    floor (20735.5)     		ty = 20735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45310 / 20735 ti = "16/45310/20735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45310/20735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45310 ÷ 216
    45310 ÷ 65536     		x = 0.691375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20735 ÷ 216
    20735 ÷ 65536     		y = 0.316390991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691375732421875 × 2 - 1) × π
    0.38275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.20244919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316390991210938 × 2 - 1) × π
    0.367218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15364942625627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20244919} λ = 1.20244919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15364942625627))-π/2
    2×atan(3.16973955832295)-π/2
    2×1.26519585984597-π/2
    2.53039171969193-1.57079632675     		φ = 0.95959539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20244919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95959539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.980766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45310 KachelY 20735 1.20244919 0.95959539 68.895264 54.980766
    Oben rechts KachelX + 1 45311 KachelY 20735 1.20254506 0.95959539 68.900757 54.980766
    Unten links KachelX 45310 KachelY + 1 20736 1.20244919 0.95954037 68.895264 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 45311 KachelY + 1 20736 1.20254506 0.95954037 68.900757 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95959539-0.95954037) × R
    5.50200000000167e-05 × 6371000     		dl = 350.532420000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95959539-0.95954037) × R
    5.50200000000167e-05 × 6371000     		dr = 350.532420000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20244919-1.20254506) × cos(0.95959539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5738513922186 × 6371000     		do = 350.501412164586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20244919-1.20254506) × cos(0.95954037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 350.52893321113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95959539)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5738513922186-0.573896450498898)×R²
    abs(1.20254506-1.20244919)×4.50582802978827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50582802978827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50582802978827e-05×40589641000000     		ar = 122866.931760135m²