Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4531 / 3887
↖ ↑ ↗
← N 68.277521°
W 80.441895°		 ← 904.28 m → N 68.277521°
W 80.419922°		 →
↑
904.43 m
↓
↑
904.43 m
↓
N 68.269387°
W 80.441895°		 ← 904.61 m →
818 006 m²		 N 68.269387°
W 80.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276580810546875 y=0.237274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276580810546875 × 214)
    floor (0.276580810546875 × 16384)
    floor (4531.5)     		tx = 4531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237274169921875 × 214)
    floor (0.237274169921875 × 16384)
    floor (3887.5)     		ty = 3887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4531 / 3887 ti = "14/4531/3887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4531/3887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4531 ÷ 214
    4531 ÷ 16384     		x = 0.27655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3887 ÷ 214
    3887 ÷ 16384     		y = 0.23724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40397592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23724365234375 × 2 - 1) × π
    0.5255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40397592} λ = -1.40397592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65094682291473))-π/2
    2×atan(5.21191224969363)-π/2
    2×1.38123193300635-π/2
    2.7624638660127-1.57079632675     		φ = 1.19166754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40397592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.441895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19166754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.277521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4531 KachelY 3887 -1.40397592 1.19166754 -80.441895 68.277521
    Oben rechts KachelX + 1 4532 KachelY 3887 -1.40359242 1.19166754 -80.419922 68.277521
    Unten links KachelX 4531 KachelY + 1 3888 -1.40397592 1.19152558 -80.441895 68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 4532 KachelY + 1 3888 -1.40359242 1.19152558 -80.419922 68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19166754-1.19152558) × R
    0.000141960000000108 × 6371000     		dl = 904.427160000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19166754-1.19152558) × R
    0.000141960000000108 × 6371000     		dr = 904.427160000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40397592--1.40359242) × cos(1.19166754) × R
    0.00038349999999987 × 0.370111263855086 × 6371000     		do = 904.284893584653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40397592--1.40359242) × cos(1.19152558) × R
    0.00038349999999987 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 904.60710173412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19166754)-sin(1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370111263855086-0.370243139181402)×R²
    abs(-1.40359242--1.40397592)×0.000131875326315534×R²
    0.00038349999999987×0.000131875326315534×6371000²
    0.00038349999999987×0.000131875326315534×40589641000000     		ar = 818005.526410455m²