Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45309 / 20740
↖ ↑ ↗
← N 54.965002°
E 68.889771°		 ← 350.64 m → N 54.965002°
E 68.895264°		 →
↑
350.66 m
↓
↑
350.66 m
↓
N 54.961848°
E 68.889771°		 ← 350.67 m →
122 960 m²		 N 54.961848°
E 68.895264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691368103027344 y=0.316474914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691368103027344 × 216)
    floor (0.691368103027344 × 65536)
    floor (45309.5)     		tx = 45309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316474914550781 × 216)
    floor (0.316474914550781 × 65536)
    floor (20740.5)     		ty = 20740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45309 / 20740 ti = "16/45309/20740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45309/20740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45309 ÷ 216
    45309 ÷ 65536     		x = 0.691360473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20740 ÷ 216
    20740 ÷ 65536     		y = 0.31646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691360473632812 × 2 - 1) × π
    0.382720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20235332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31646728515625 × 2 - 1) × π
    0.3670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15317005726007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20235332} λ = 1.20235332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15317005726007))-π/2
    2×atan(3.16822044758905)-π/2
    2×1.26505828956318-π/2
    2.53011657912636-1.57079632675     		φ = 0.95932025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20235332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.889771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95932025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.965002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45309 KachelY 20740 1.20235332 0.95932025 68.889771 54.965002
    Oben rechts KachelX + 1 45310 KachelY 20740 1.20244919 0.95932025 68.895264 54.965002
    Unten links KachelX 45309 KachelY + 1 20741 1.20235332 0.95926521 68.889771 54.961848
    Unten rechts KachelX + 1 45310 KachelY + 1 20741 1.20244919 0.95926521 68.895264 54.961848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95932025-0.95926521) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dl = 350.659840000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95932025-0.95926521) × R
    5.50400000000062e-05 × 6371000     		dr = 350.659840000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20235332-1.20244919) × cos(0.95932025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574076698997791 × 6371000     		do = 350.639026789815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20235332-1.20244919) × cos(0.95926521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574121764964363 × 6371000     		du = 350.66655253104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95932025)-sin(0.95926521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574076698997791-0.574121764964363)×R²
    abs(1.20244919-1.20235332)×4.50659665715003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50659665715003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50659665715003e-05×40589641000000     		ar = 122959.851149166m²