Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45308 / 94876
↖ ↑ ↗
← S 62.466646°
W 55.557862°		 ← 141.19 m → S 62.466646°
W 55.555115°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.467915°
W 55.557862°		 ← 141.18 m →
19 933 m²		 S 62.467915°
W 55.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345676422119141 y=0.723850250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345676422119141 × 217)
    floor (0.345676422119141 × 131072)
    floor (45308.5)     		tx = 45308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723850250244141 × 217)
    floor (0.723850250244141 × 131072)
    floor (94876.5)     		ty = 94876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45308 / 94876 ti = "17/45308/94876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45308/94876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45308 ÷ 217
    45308 ÷ 131072     		x = 0.345672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94876 ÷ 217
    94876 ÷ 131072     		y = 0.723846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.30865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96966761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.44769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40646863485245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96966761} λ = -0.96966761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40646863485245))-π/2
    2×atan(0.245006966327354)-π/2
    2×0.240273844622298-π/2
    0.480547689244597-1.57079632675     		φ = -1.09024864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96966761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.557862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09024864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.466646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45308 KachelY 94876 -0.96966761 -1.09024864 -55.557862 -62.466646
    Oben rechts KachelX + 1 45309 KachelY 94876 -0.96961967 -1.09024864 -55.555115 -62.466646
    Unten links KachelX 45308 KachelY + 1 94877 -0.96966761 -1.09027080 -55.557862 -62.467915
    Unten rechts KachelX + 1 45309 KachelY + 1 94877 -0.96961967 -1.09027080 -55.555115 -62.467915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09024864--1.09027080) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dl = 141.181360000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09024864--1.09027080) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dr = 141.181360000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96966761--0.96961967) × cos(-1.09024864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462264901665713 × 6371000     		do = 141.187599667185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96966761--0.96961967) × cos(-1.09027080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462245251352166 × 6371000     		du = 141.181597955629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09024864)-sin(-1.09027080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462264901665713-0.462245251352166)×R²
    abs(-0.96961967--0.96966761)×1.96503135472259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96503135472259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96503135472259e-05×40589641000000     		ar = 19932.6336721572m²