Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45307 / 94439
↖ ↑ ↗
← S 61.906633°
W 55.560608°		 ← 143.80 m → S 61.906633°
W 55.557862°		 →
↑
143.79 m
↓
↑
143.79 m
↓
S 61.907926°
W 55.560608°		 ← 143.79 m →
20 677 m²		 S 61.907926°
W 55.557862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345668792724609 y=0.720516204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345668792724609 × 217)
    floor (0.345668792724609 × 131072)
    floor (45307.5)     		tx = 45307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720516204833984 × 217)
    floor (0.720516204833984 × 131072)
    floor (94439.5)     		ty = 94439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45307 / 94439 ti = "17/45307/94439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45307/94439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45307 ÷ 217
    45307 ÷ 131072     		x = 0.345664978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94439 ÷ 217
    94439 ÷ 131072     		y = 0.720512390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345664978027344 × 2 - 1) × π
    -0.308670043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.96971554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720512390136719 × 2 - 1) × π
    -0.441024780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.38552020971848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96971554} λ = -0.96971554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38552020971848))-π/2
    2×atan(0.250193612783486)-π/2
    2×0.24516087862007-π/2
    0.49032175724014-1.57079632675     		φ = -1.08047457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96971554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.560608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08047457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.906633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45307 KachelY 94439 -0.96971554 -1.08047457 -55.560608 -61.906633
    Oben rechts KachelX + 1 45308 KachelY 94439 -0.96966761 -1.08047457 -55.557862 -61.906633
    Unten links KachelX 45307 KachelY + 1 94440 -0.96971554 -1.08049714 -55.560608 -61.907926
    Unten rechts KachelX + 1 45308 KachelY + 1 94440 -0.96966761 -1.08049714 -55.557862 -61.907926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08047457--1.08049714) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dl = 143.793470000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08047457--1.08049714) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dr = 143.793470000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96971554--0.96966761) × cos(-1.08047457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.470909760397533 × 6371000     		do = 143.797960381892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96971554--0.96966761) × cos(-1.08049714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.470889849443713 × 6371000     		du = 143.791880332615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08047457)-sin(-1.08049714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470909760397533-0.470889849443713)×R²
    abs(-0.96966761--0.96971554)×1.99109538191466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99109538191466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99109538191466e-05×40589641000000     		ar = 20676.7705674812m²