Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45306 / 95064
↖ ↑ ↗
← S 62.704388°
W 55.563355°		 ← 140.06 m → S 62.704388°
W 55.560608°		 →
↑
140.03 m
↓
↑
140.03 m
↓
S 62.705647°
W 55.563355°		 ← 140.06 m →
19 613 m²		 S 62.705647°
W 55.560608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345661163330078 y=0.725284576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345661163330078 × 217)
    floor (0.345661163330078 × 131072)
    floor (45306.5)     		tx = 45306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725284576416016 × 217)
    floor (0.725284576416016 × 131072)
    floor (95064.5)     		ty = 95064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45306 / 95064 ti = "17/45306/95064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45306/95064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45306 ÷ 217
    45306 ÷ 131072     		x = 0.345657348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95064 ÷ 217
    95064 ÷ 131072     		y = 0.72528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345657348632812 × 2 - 1) × π
    -0.308685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96976348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.4505615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41548077198102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96976348} λ = -0.96976348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41548077198102))-π/2
    2×atan(0.242808849690945)-π/2
    2×0.238199154182789-π/2
    0.476398308365579-1.57079632675     		φ = -1.09439802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96976348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09439802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.704388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45306 KachelY 95064 -0.96976348 -1.09439802 -55.563355 -62.704388
    Oben rechts KachelX + 1 45307 KachelY 95064 -0.96971554 -1.09439802 -55.560608 -62.704388
    Unten links KachelX 45306 KachelY + 1 95065 -0.96976348 -1.09442000 -55.563355 -62.705647
    Unten rechts KachelX + 1 45307 KachelY + 1 95065 -0.96971554 -1.09442000 -55.560608 -62.705647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09439802--1.09442000) × R
    2.1979999999866e-05 × 6371000     		dl = 140.034579999146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09439802--1.09442000) × R
    2.1979999999866e-05 × 6371000     		dr = 140.034579999146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96976348--0.96971554) × cos(-1.09439802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458581503720878 × 6371000     		do = 140.06259512417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96976348--0.96971554) × cos(-1.09442000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458561971031386 × 6371000     		du = 140.056629338028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09439802)-sin(-1.09442000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458581503720878-0.458561971031386)×R²
    abs(-0.96971554--0.96976348)×1.95326894916747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95326894916747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95326894916747e-05×40589641000000     		ar = 19613.1889744258m²