Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45304 / 94441
↖ ↑ ↗
← S 61.909220°
W 55.568847°		 ← 143.79 m → S 61.909220°
W 55.566101°		 →
↑
143.79 m
↓
↑
143.79 m
↓
S 61.910513°
W 55.568847°		 ← 143.78 m →
20 675 m²		 S 61.910513°
W 55.566101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345645904541016 y=0.720531463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345645904541016 × 217)
    floor (0.345645904541016 × 131072)
    floor (45304.5)     		tx = 45304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720531463623047 × 217)
    floor (0.720531463623047 × 131072)
    floor (94441.5)     		ty = 94441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45304 / 94441 ti = "17/45304/94441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45304/94441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45304 ÷ 217
    45304 ÷ 131072     		x = 0.34564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94441 ÷ 217
    94441 ÷ 131072     		y = 0.720527648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.3087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96985935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720527648925781 × 2 - 1) × π
    -0.441055297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.38561608351772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96985935} λ = -0.96985935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38561608351772))-π/2
    2×atan(0.250169626921109)-π/2
    2×0.245138305620748-π/2
    0.490276611241497-1.57079632675     		φ = -1.08051972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96985935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.568847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08051972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.909220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45304 KachelY 94441 -0.96985935 -1.08051972 -55.568847 -61.909220
    Oben rechts KachelX + 1 45305 KachelY 94441 -0.96981142 -1.08051972 -55.566101 -61.909220
    Unten links KachelX 45304 KachelY + 1 94442 -0.96985935 -1.08054229 -55.568847 -61.910513
    Unten rechts KachelX + 1 45305 KachelY + 1 94442 -0.96981142 -1.08054229 -55.566101 -61.910513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08051972--1.08054229) × R
    2.2569999999833e-05 × 6371000     		dl = 143.793469998936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08051972--1.08054229) × R
    2.2569999999833e-05 × 6371000     		dr = 143.793469998936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96985935--0.96981142) × cos(-1.08051972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.470869929427994 × 6371000     		do = 143.785797516177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96985935--0.96981142) × cos(-1.08054229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.470850017994332 × 6371000     		du = 143.779717320374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08051972)-sin(-1.08054229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470869929427994-0.470850017994332)×R²
    abs(-0.96981142--0.96985935)×1.99114336622563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99114336622563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99114336622563e-05×40589641000000     		ar = 20675.0216159861m²