Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45301 / 94427
↖ ↑ ↗
← S 61.891108°
W 55.577087°		 ← 143.87 m → S 61.891108°
W 55.574341°		 →
↑
143.92 m
↓
↑
143.92 m
↓
S 61.892402°
W 55.577087°		 ← 143.86 m →
20 706 m²		 S 61.892402°
W 55.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345623016357422 y=0.720424652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345623016357422 × 217)
    floor (0.345623016357422 × 131072)
    floor (45301.5)     		tx = 45301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720424652099609 × 217)
    floor (0.720424652099609 × 131072)
    floor (94427.5)     		ty = 94427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45301 / 94427 ti = "17/45301/94427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45301/94427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45301 ÷ 217
    45301 ÷ 131072     		x = 0.345619201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94427 ÷ 217
    94427 ÷ 131072     		y = 0.720420837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345619201660156 × 2 - 1) × π
    -0.308761596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.97000316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720420837402344 × 2 - 1) × π
    -0.440841674804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.38494496692304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97000316} λ = -0.97000316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38494496692304))-π/2
    2×atan(0.250337576259712)-π/2
    2×0.245296356714536-π/2
    0.490592713429072-1.57079632675     		φ = -1.08020361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97000316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.577087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08020361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.891108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45301 KachelY 94427 -0.97000316 -1.08020361 -55.577087 -61.891108
    Oben rechts KachelX + 1 45302 KachelY 94427 -0.96995523 -1.08020361 -55.574341 -61.891108
    Unten links KachelX 45301 KachelY + 1 94428 -0.97000316 -1.08022620 -55.577087 -61.892402
    Unten rechts KachelX + 1 45302 KachelY + 1 94428 -0.96995523 -1.08022620 -55.574341 -61.892402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08020361--1.08022620) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dl = 143.920889999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08020361--1.08022620) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dr = 143.920889999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97000316--0.96995523) × cos(-1.08020361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.471148778975983 × 6371000     		do = 143.870947580216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97000316--0.96995523) × cos(-1.08022620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.471128853261427 × 6371000     		du = 143.864863023569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08020361)-sin(-1.08022620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471148778975983-0.471128853261427)×R²
    abs(-0.96995523--0.97000316)×1.99257145566123e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99257145566123e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99257145566123e-05×40589641000000     		ar = 20705.5969742515m²