Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45300 / 94428
↖ ↑ ↗
← S 61.892402°
W 55.579834°		 ← 143.89 m → S 61.892402°
W 55.577087°		 →
↑
143.86 m
↓
↑
143.86 m
↓
S 61.893696°
W 55.579834°		 ← 143.89 m →
20 700 m²		 S 61.893696°
W 55.577087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345615386962891 y=0.720432281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345615386962891 × 217)
    floor (0.345615386962891 × 131072)
    floor (45300.5)     		tx = 45300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720432281494141 × 217)
    floor (0.720432281494141 × 131072)
    floor (94428.5)     		ty = 94428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45300 / 94428 ti = "17/45300/94428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45300/94428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45300 ÷ 217
    45300 ÷ 131072     		x = 0.345611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94428 ÷ 217
    94428 ÷ 131072     		y = 0.720428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.30877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97005110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.44085693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.38499290382266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97005110} λ = -0.97005110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38499290382266))-π/2
    2×atan(0.250325576140074)-π/2
    2×0.245285064247487-π/2
    0.490570128494974-1.57079632675     		φ = -1.08022620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97005110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08022620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.892402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45300 KachelY 94428 -0.97005110 -1.08022620 -55.579834 -61.892402
    Oben rechts KachelX + 1 45301 KachelY 94428 -0.97000316 -1.08022620 -55.577087 -61.892402
    Unten links KachelX 45300 KachelY + 1 94429 -0.97005110 -1.08024878 -55.579834 -61.893696
    Unten rechts KachelX + 1 45301 KachelY + 1 94429 -0.97000316 -1.08024878 -55.577087 -61.893696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08022620--1.08024878) × R
    2.25799999999943e-05 × 6371000     		dl = 143.857179999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08022620--1.08024878) × R
    2.25799999999943e-05 × 6371000     		dr = 143.857179999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97005110--0.97000316) × cos(-1.08022620) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.471128853261427 × 6371000     		do = 143.894878642962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97005110--0.97000316) × cos(-1.08024878) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.4711089361272 × 6371000     		du = 143.888795437502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08022620)-sin(-1.08024878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471128853261427-0.4711089361272)×R²
    abs(-0.97000316--0.97005110)×1.99171342271653e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99171342271653e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99171342271653e-05×40589641000000     		ar = 20699.8739026561m²