Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4530 / 12881
↖ ↑ ↗
← S 71.194838°
W 80.463867°		 ← 787.57 m → S 71.194838°
W 80.441895°		 →
↑
787.39 m
↓
↑
787.39 m
↓
S 71.201920°
W 80.463867°		 ← 787.29 m →
620 016 m²		 S 71.201920°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276519775390625 y=0.786224365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276519775390625 × 214)
    floor (0.276519775390625 × 16384)
    floor (4530.5)     		tx = 4530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786224365234375 × 214)
    floor (0.786224365234375 × 16384)
    floor (12881.5)     		ty = 12881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4530 / 12881 ti = "14/4530/12881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4530/12881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4530 ÷ 214
    4530 ÷ 16384     		x = 0.2764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12881 ÷ 214
    12881 ÷ 16384     		y = 0.78619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40435941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.5723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79820897854755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40435941} λ = -1.40435941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79820897854755))-π/2
    2×atan(0.16559520735421)-π/2
    2×0.164105995673645-π/2
    0.328211991347291-1.57079632675     		φ = -1.24258434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40435941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24258434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.194838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4530 KachelY 12881 -1.40435941 -1.24258434 -80.463867 -71.194838
    Oben rechts KachelX + 1 4531 KachelY 12881 -1.40397592 -1.24258434 -80.441895 -71.194838
    Unten links KachelX 4530 KachelY + 1 12882 -1.40435941 -1.24270793 -80.463867 -71.201920
    Unten rechts KachelX + 1 4531 KachelY + 1 12882 -1.40397592 -1.24270793 -80.441895 -71.201920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24258434--1.24270793) × R
    0.00012358999999984 × 6371000     		dl = 787.391889998982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24258434--1.24270793) × R
    0.00012358999999984 × 6371000     		dr = 787.391889998982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40435941--1.40397592) × cos(-1.24258434) × R
    0.000383490000000153 × 0.322350975112136 × 6371000     		do = 787.572669965207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40435941--1.40397592) × cos(-1.24270793) × R
    0.000383490000000153 × 0.322233979857054 × 6371000     		du = 787.286825427629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24258434)-sin(-1.24270793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322350975112136-0.322233979857054)×R²
    abs(-1.40397592--1.40435941)×0.00011699525508263×R²
    0.000383490000000153×0.00011699525508263×6371000²
    0.000383490000000153×0.00011699525508263×40589641000000     		ar = 620015.79807042m²