Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4530 / 12878
↖ ↑ ↗
← S 71.173578°
W 80.463867°		 ← 788.43 m → S 71.173578°
W 80.441895°		 →
↑
788.35 m
↓
↑
788.35 m
↓
S 71.180667°
W 80.463867°		 ← 788.14 m →
621 445 m²		 S 71.180667°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276519775390625 y=0.786041259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276519775390625 × 214)
    floor (0.276519775390625 × 16384)
    floor (4530.5)     		tx = 4530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786041259765625 × 214)
    floor (0.786041259765625 × 16384)
    floor (12878.5)     		ty = 12878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4530 / 12878 ti = "14/4530/12878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4530/12878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4530 ÷ 214
    4530 ÷ 16384     		x = 0.2764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12878 ÷ 214
    12878 ÷ 16384     		y = 0.7860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40435941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79705849295667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40435941} λ = -1.40435941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79705849295667))-π/2
    2×atan(0.165785831888554)-π/2
    2×0.164291526758009-π/2
    0.328583053516019-1.57079632675     		φ = -1.24221327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40435941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24221327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.173578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4530 KachelY 12878 -1.40435941 -1.24221327 -80.463867 -71.173578
    Oben rechts KachelX + 1 4531 KachelY 12878 -1.40397592 -1.24221327 -80.441895 -71.173578
    Unten links KachelX 4530 KachelY + 1 12879 -1.40435941 -1.24233701 -80.463867 -71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 4531 KachelY + 1 12879 -1.40397592 -1.24233701 -80.441895 -71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24221327--1.24233701) × R
    0.000123740000000039 × 6371000     		dl = 788.347540000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24221327--1.24233701) × R
    0.000123740000000039 × 6371000     		dr = 788.347540000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40435941--1.40397592) × cos(-1.24221327) × R
    0.000383490000000153 × 0.322702215277938 × 6371000     		do = 788.430825133136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40435941--1.40397592) × cos(-1.24233701) × R
    0.000383490000000153 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 788.144669836949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24221327)-sin(-1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322702215277938-0.32258509283035)×R²
    abs(-1.40397592--1.40435941)×0.000117122447587548×R²
    0.000383490000000153×0.000117122447587548×6371000²
    0.000383490000000153×0.000117122447587548×40589641000000     		ar = 621444.707335724m²