Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 453 / 570
↖ ↑ ↗
← N 62.103883°
W100.371094°		 ← 9 144.97 m → N 62.103883°
W100.195313°		 →
↑
9 157.42 m
↓
↑
9 157.42 m
↓
N 62.021528°
W100.371094°		 ← 9 169.79 m →
83 858 024 m²		 N 62.021528°
W100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221435546875 y=0.278564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221435546875 × 211)
    floor (0.221435546875 × 2048)
    floor (453.5)     		tx = 453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278564453125 × 211)
    floor (0.278564453125 × 2048)
    floor (570.5)     		ty = 570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 453 / 570 ti = "11/453/570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/453/570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 453 ÷ 211
    453 ÷ 2048     		x = 0.22119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 570 ÷ 211
    570 ÷ 2048     		y = 0.2783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22119140625 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75180606} λ = -1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39285455536035))-π/2
    2×atan(4.02632703778487)-π/2
    2×1.3273567775363-π/2
    2.6547135550726-1.57079632675     		φ = 1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 453 KachelY 570 -1.75180606 1.08391723 -100.371094 62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 454 KachelY 570 -1.74873810 1.08391723 -100.195313 62.103883
    Unten links KachelX 453 KachelY + 1 571 -1.75180606 1.08247987 -100.371094 62.021528
    Unten rechts KachelX + 1 454 KachelY + 1 571 -1.74873810 1.08247987 -100.195313 62.021528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08391723-1.08247987) × R
    0.00143735999999994 × 6371000     		dl = 9157.42055999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08391723-1.08247987) × R
    0.00143735999999994 × 6371000     		dr = 9157.42055999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75180606--1.74873810) × cos(1.08391723) × R
    0.00306796000000009 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 9144.97300111298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75180606--1.74873810) × cos(1.08247987) × R
    0.00306796000000009 × 0.469139776432619 × 6371000     		du = 9169.79347844065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08391723)-sin(1.08247987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.469139776432619)×R²
    abs(-1.74873810--1.75180606)×0.00126985119259576×R²
    0.00306796000000009×0.00126985119259576×6371000²
    0.00306796000000009×0.00126985119259576×40589641000000     		ar = 83858023.9933157m²