Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45299 / 94513
↖ ↑ ↗
← S 62.002194°
W 55.582581°		 ← 143.38 m → S 62.002194°
W 55.579834°		 →
↑
143.35 m
↓
↑
143.35 m
↓
S 62.003483°
W 55.582581°		 ← 143.37 m →
20 552 m²		 S 62.003483°
W 55.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345607757568359 y=0.721080780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345607757568359 × 217)
    floor (0.345607757568359 × 131072)
    floor (45299.5)     		tx = 45299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721080780029297 × 217)
    floor (0.721080780029297 × 131072)
    floor (94513.5)     		ty = 94513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45299 / 94513 ti = "17/45299/94513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45299/94513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45299 ÷ 217
    45299 ÷ 131072     		x = 0.345603942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94513 ÷ 217
    94513 ÷ 131072     		y = 0.721076965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345603942871094 × 2 - 1) × π
    -0.308792114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97009904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721076965332031 × 2 - 1) × π
    -0.442153930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.38906754029037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97009904} λ = -0.97009904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38906754029037))-π/2
    2×atan(0.249307665634702)-π/2
    2×0.244326948238928-π/2
    0.488653896477856-1.57079632675     		φ = -1.08214243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97009904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.582581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08214243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.002194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45299 KachelY 94513 -0.97009904 -1.08214243 -55.582581 -62.002194
    Oben rechts KachelX + 1 45300 KachelY 94513 -0.97005110 -1.08214243 -55.579834 -62.002194
    Unten links KachelX 45299 KachelY + 1 94514 -0.97009904 -1.08216493 -55.582581 -62.003483
    Unten rechts KachelX + 1 45300 KachelY + 1 94514 -0.97005110 -1.08216493 -55.579834 -62.003483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08214243--1.08216493) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dl = 143.347500000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08214243--1.08216493) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dr = 143.347500000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97009904--0.97005110) × cos(-1.08214243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.469437751055362 × 6371000     		do = 143.378372499926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97009904--0.97005110) × cos(-1.08216493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.469417884211211 × 6371000     		du = 143.372304654349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08214243)-sin(-1.08216493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469437751055362-0.469417884211211)×R²
    abs(-0.97005110--0.97009904)×1.98668441507843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98668441507843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98668441507843e-05×40589641000000     		ar = 20552.49634762m²