Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45298 / 94512
↖ ↑ ↗
← S 62.000905°
W 55.585327°		 ← 143.35 m → S 62.000905°
W 55.582581°		 →
↑
143.35 m
↓
↑
143.35 m
↓
S 62.002194°
W 55.585327°		 ← 143.35 m →
20 549 m²		 S 62.002194°
W 55.582581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345600128173828 y=0.721073150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345600128173828 × 217)
    floor (0.345600128173828 × 131072)
    floor (45298.5)     		tx = 45298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721073150634766 × 217)
    floor (0.721073150634766 × 131072)
    floor (94512.5)     		ty = 94512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45298 / 94512 ti = "17/45298/94512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45298/94512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45298 ÷ 217
    45298 ÷ 131072     		x = 0.345596313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94512 ÷ 217
    94512 ÷ 131072     		y = 0.7210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345596313476562 × 2 - 1) × π
    -0.308807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97014697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38901960339075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97014697} λ = -0.97014697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38901960339075))-π/2
    2×atan(0.249319616957697)-π/2
    2×0.244338200172222-π/2
    0.488676400344444-1.57079632675     		φ = -1.08211993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97014697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08211993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.000905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45298 KachelY 94512 -0.97014697 -1.08211993 -55.585327 -62.000905
    Oben rechts KachelX + 1 45299 KachelY 94512 -0.97009904 -1.08211993 -55.582581 -62.000905
    Unten links KachelX 45298 KachelY + 1 94513 -0.97014697 -1.08214243 -55.585327 -62.002194
    Unten rechts KachelX + 1 45299 KachelY + 1 94513 -0.97009904 -1.08214243 -55.582581 -62.002194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08211993--1.08214243) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dl = 143.347500000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08211993--1.08214243) × R
    2.25000000000364e-05 × 6371000     		dr = 143.347500000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97014697--0.97009904) × cos(-1.08211993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46945761766186 × 6371000     		do = 143.354531128277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97014697--0.97009904) × cos(-1.08214243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.469437751055362 × 6371000     		du = 143.348464620988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08211993)-sin(-1.08214243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46945761766186-0.469437751055362)×R²
    abs(-0.97009904--0.97014697)×1.98666064979425e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98666064979425e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98666064979425e-05×40589641000000     		ar = 20549.0788425273m²