Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45297 / 95141
↖ ↑ ↗
← S 62.801212°
W 55.588074°		 ← 139.60 m → S 62.801212°
W 55.585327°		 →
↑
139.59 m
↓
↑
139.59 m
↓
S 62.802468°
W 55.588074°		 ← 139.60 m →
19 487 m²		 S 62.802468°
W 55.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345592498779297 y=0.725872039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345592498779297 × 217)
    floor (0.345592498779297 × 131072)
    floor (45297.5)     		tx = 45297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725872039794922 × 217)
    floor (0.725872039794922 × 131072)
    floor (95141.5)     		ty = 95141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45297 / 95141 ti = "17/45297/95141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45297/95141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45297 ÷ 217
    45297 ÷ 131072     		x = 0.345588684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95141 ÷ 217
    95141 ÷ 131072     		y = 0.725868225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345588684082031 × 2 - 1) × π
    -0.308822631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.97019491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725868225097656 × 2 - 1) × π
    -0.451736450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41917191325176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97019491} λ = -0.97019491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41917191325176))-π/2
    2×atan(0.241914259969167)-π/2
    2×0.237354196573989-π/2
    0.474708393147978-1.57079632675     		φ = -1.09608793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97019491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.588074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09608793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.801212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45297 KachelY 95141 -0.97019491 -1.09608793 -55.588074 -62.801212
    Oben rechts KachelX + 1 45298 KachelY 95141 -0.97014697 -1.09608793 -55.585327 -62.801212
    Unten links KachelX 45297 KachelY + 1 95142 -0.97019491 -1.09610984 -55.588074 -62.802468
    Unten rechts KachelX + 1 45298 KachelY + 1 95142 -0.97014697 -1.09610984 -55.585327 -62.802468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09608793--1.09610984) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dl = 139.588610000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09608793--1.09610984) × R
    2.19100000000694e-05 × 6371000     		dr = 139.588610000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97019491--0.97014697) × cos(-1.09608793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457079107130431 × 6371000     		do = 139.60372453376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97019491--0.97014697) × cos(-1.09610984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457059619696073 × 6371000     		du = 139.5977725697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09608793)-sin(-1.09610984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457079107130431-0.457059619696073)×R²
    abs(-0.97014697--0.97019491)×1.94874343581453e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94874343581453e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94874343581453e-05×40589641000000     		ar = 19486.6744460814m²