Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45296 / 20751
↖ ↑ ↗
← N 54.930298°
E 68.818360°		 ← 350.94 m → N 54.930298°
E 68.823853°		 →
↑
350.98 m
↓
↑
350.98 m
↓
N 54.927142°
E 68.818360°		 ← 350.97 m →
123 178 m²		 N 54.927142°
E 68.823853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691169738769531 y=0.316642761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691169738769531 × 216)
    floor (0.691169738769531 × 65536)
    floor (45296.5)     		tx = 45296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316642761230469 × 216)
    floor (0.316642761230469 × 65536)
    floor (20751.5)     		ty = 20751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45296 / 20751 ti = "16/45296/20751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45296/20751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45296 ÷ 216
    45296 ÷ 65536     		x = 0.691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20751 ÷ 216
    20751 ÷ 65536     		y = 0.316635131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691162109375 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20110696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316635131835938 × 2 - 1) × π
    0.366729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15211544546843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20110696} λ = 1.20110696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15211544546843))-π/2
    2×atan(3.16488096618425)-π/2
    2×1.26475544481757-π/2
    2.52951088963514-1.57079632675     		φ = 0.95871456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20110696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.818360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95871456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.930298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45296 KachelY 20751 1.20110696 0.95871456 68.818360 54.930298
    Oben rechts KachelX + 1 45297 KachelY 20751 1.20120283 0.95871456 68.823853 54.930298
    Unten links KachelX 45296 KachelY + 1 20752 1.20110696 0.95865947 68.818360 54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 45297 KachelY + 1 20752 1.20120283 0.95865947 68.823853 54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95871456-0.95865947) × R
    5.50900000000354e-05 × 6371000     		dl = 350.978390000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95871456-0.95865947) × R
    5.50900000000354e-05 × 6371000     		dr = 350.978390000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20110696-1.20120283) × cos(0.95871456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574572533562491 × 6371000     		do = 350.941876477876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20110696-1.20120283) × cos(0.95865947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 350.969415518387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95871456)-sin(0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574572533562491-0.57461762130305)×R²
    abs(1.20120283-1.20110696)×4.50877405593353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50877405593353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50877405593353e-05×40589641000000     		ar = 123177.847625175m²