Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45295 / 95086
↖ ↑ ↗
← S 62.732084°
W 55.593567°		 ← 139.93 m → S 62.732084°
W 55.590820°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
S 62.733343°
W 55.593567°		 ← 139.93 m →
19 577 m²		 S 62.733343°
W 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345577239990234 y=0.725452423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345577239990234 × 217)
    floor (0.345577239990234 × 131072)
    floor (45295.5)     		tx = 45295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725452423095703 × 217)
    floor (0.725452423095703 × 131072)
    floor (95086.5)     		ty = 95086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45295 / 95086 ti = "17/45295/95086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45295/95086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45295 ÷ 217
    45295 ÷ 131072     		x = 0.345573425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95086 ÷ 217
    95086 ÷ 131072     		y = 0.725448608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345573425292969 × 2 - 1) × π
    -0.308853149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97029079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725448608398438 × 2 - 1) × π
    -0.450897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41653538377266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97029079} λ = -0.97029079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41653538377266))-π/2
    2×atan(0.242552915594226)-π/2
    2×0.237957454736874-π/2
    0.475914909473747-1.57079632675     		φ = -1.09488142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97029079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.593567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09488142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.732084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45295 KachelY 95086 -0.97029079 -1.09488142 -55.593567 -62.732084
    Oben rechts KachelX + 1 45296 KachelY 95086 -0.97024285 -1.09488142 -55.590820 -62.732084
    Unten links KachelX 45295 KachelY + 1 95087 -0.97029079 -1.09490338 -55.593567 -62.733343
    Unten rechts KachelX + 1 45296 KachelY + 1 95087 -0.97024285 -1.09490338 -55.590820 -62.733343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09488142--1.09490338) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09488142--1.09490338) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97029079--0.97024285) × cos(-1.09488142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458151875610537 × 6371000     		do = 139.931375640644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97029079--0.97024285) × cos(-1.09490338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458132355828622 × 6371000     		du = 139.925413796808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09488142)-sin(-1.09490338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458151875610537-0.458132355828622)×R²
    abs(-0.97024285--0.97029079)×1.95197819148896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95197819148896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95197819148896e-05×40589641000000     		ar = 19576.9843092951m²