Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45295 / 20750
↖ ↑ ↗
← N 54.933454°
E 68.812866°		 ← 350.95 m → N 54.933454°
E 68.818360°		 →
↑
350.98 m
↓
↑
350.98 m
↓
N 54.930298°
E 68.812866°		 ← 350.98 m →
123 181 m²		 N 54.930298°
E 68.818360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691154479980469 y=0.316627502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691154479980469 × 216)
    floor (0.691154479980469 × 65536)
    floor (45295.5)     		tx = 45295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316627502441406 × 216)
    floor (0.316627502441406 × 65536)
    floor (20750.5)     		ty = 20750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45295 / 20750 ti = "16/45295/20750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45295/20750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45295 ÷ 216
    45295 ÷ 65536     		x = 0.691146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20750 ÷ 216
    20750 ÷ 65536     		y = 0.316619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691146850585938 × 2 - 1) × π
    0.382293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20101108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316619873046875 × 2 - 1) × π
    0.36676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15221131926767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20101108} λ = 1.20101108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15221131926767))-π/2
    2×atan(3.16518440989254)-π/2
    2×1.2647829869627-π/2
    2.5295659739254-1.57079632675     		φ = 0.95876965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20101108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95876965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.933454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45295 KachelY 20750 1.20101108 0.95876965 68.812866 54.933454
    Oben rechts KachelX + 1 45296 KachelY 20750 1.20110696 0.95876965 68.818360 54.933454
    Unten links KachelX 45295 KachelY + 1 20751 1.20101108 0.95871456 68.812866 54.930298
    Unten rechts KachelX + 1 45296 KachelY + 1 20751 1.20110696 0.95871456 68.818360 54.930298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95876965-0.95871456) × R
    5.50900000000354e-05 × 6371000     		dl = 350.978390000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95876965-0.95871456) × R
    5.50900000000354e-05 × 6371000     		dr = 350.978390000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20101108-1.20110696) × cos(0.95876965) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.574527444078157 × 6371000     		do = 350.950939515529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20101108-1.20110696) × cos(0.95871456) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.574572533562491 × 6371000     		du = 350.978482493767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95876965)-sin(0.95871456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574527444078157-0.574572533562491)×R²
    abs(1.20110696-1.20101108)×4.50894843342375e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.50894843342375e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.50894843342375e-05×40589641000000     		ar = 123181.029246309m²