Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45290 / 94478
↖ ↑ ↗
← S 61.957034°
W 55.607300°		 ← 143.59 m → S 61.957034°
W 55.604553°		 →
↑
143.54 m
↓
↑
143.54 m
↓
S 61.958324°
W 55.607300°		 ← 143.58 m →
20 610 m²		 S 61.958324°
W 55.604553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345539093017578 y=0.720813751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345539093017578 × 217)
    floor (0.345539093017578 × 131072)
    floor (45290.5)     		tx = 45290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720813751220703 × 217)
    floor (0.720813751220703 × 131072)
    floor (94478.5)     		ty = 94478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45290 / 94478 ti = "17/45290/94478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45290/94478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45290 ÷ 217
    45290 ÷ 131072     		x = 0.345535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94478 ÷ 217
    94478 ÷ 131072     		y = 0.720809936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.308929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97053047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720809936523438 × 2 - 1) × π
    -0.441619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38738974880367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97053047} λ = -0.97053047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38738974880367))-π/2
    2×atan(0.24972630300858)-π/2
    2×0.244721049374024-π/2
    0.489442098748048-1.57079632675     		φ = -1.08135423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97053047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08135423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.957034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45290 KachelY 94478 -0.97053047 -1.08135423 -55.607300 -61.957034
    Oben rechts KachelX + 1 45291 KachelY 94478 -0.97048253 -1.08135423 -55.604553 -61.957034
    Unten links KachelX 45290 KachelY + 1 94479 -0.97053047 -1.08137676 -55.607300 -61.958324
    Unten rechts KachelX + 1 45291 KachelY + 1 94479 -0.97048253 -1.08137676 -55.604553 -61.958324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08135423--1.08137676) × R
    2.25299999998541e-05 × 6371000     		dl = 143.53862999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08135423--1.08137676) × R
    2.25299999998541e-05 × 6371000     		dr = 143.53862999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97053047--0.97048253) × cos(-1.08135423) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.470133558624347 × 6371000     		do = 143.590890041913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97053047--0.97048253) × cos(-1.08137676) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.470113673633258 × 6371000     		du = 143.584816653795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08135423)-sin(-1.08137676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470133558624347-0.470113673633258)×R²
    abs(-0.97048253--0.97053047)×1.98849910886811e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.98849910886811e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.98849910886811e-05×40589641000000     		ar = 20610.4037550012m²