Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4529 / 5711
↖ ↑ ↗
← N 75.278205°
W130.242920°		 ← 310.45 m → N 75.278205°
W130.231933°		 →
↑
310.46 m
↓
↑
310.46 m
↓
N 75.275413°
W130.242920°		 ← 310.51 m →
96 391 m²		 N 75.275413°
W130.231933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138229370117188 y=0.174301147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138229370117188 × 215)
    floor (0.138229370117188 × 32768)
    floor (4529.5)     		tx = 4529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174301147460938 × 215)
    floor (0.174301147460938 × 32768)
    floor (5711.5)     		ty = 5711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4529 / 5711 ti = "15/4529/5711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4529/5711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4529 ÷ 215
    4529 ÷ 32768     		x = 0.138214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5711 ÷ 215
    5711 ÷ 32768     		y = 0.174285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.72357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27316778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174285888671875 × 2 - 1) × π
    0.65142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04652211857944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27316778} λ = -2.27316778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04652211857944))-π/2
    2×atan(7.74093219189945)-π/2
    2×1.44232442756761-π/2
    2.88464885513521-1.57079632675     		φ = 1.31385253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27316778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.242920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31385253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.278205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4529 KachelY 5711 -2.27316778 1.31385253 -130.242920 75.278205
    Oben rechts KachelX + 1 4530 KachelY 5711 -2.27297603 1.31385253 -130.231933 75.278205
    Unten links KachelX 4529 KachelY + 1 5712 -2.27316778 1.31380380 -130.242920 75.275413
    Unten rechts KachelX + 1 4530 KachelY + 1 5712 -2.27297603 1.31380380 -130.231933 75.275413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31385253-1.31380380) × R
    4.87299999998303e-05 × 6371000     		dl = 310.458829998919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31385253-1.31380380) × R
    4.87299999998303e-05 × 6371000     		dr = 310.458829998919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31385253) × R
    0.000191749999999935 × 0.25412587172754 × 6371000     		do = 310.450139342723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31380380) × R
    0.000191749999999935 × 0.254173001676135 × 6371000     		du = 310.507715137777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31385253)-sin(1.31380380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25412587172754-0.254173001676135)×R²
    abs(-2.27297603--2.27316778)×4.71299485950705e-05×R²
    0.000191749999999935×4.71299485950705e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.71299485950705e-05×40589641000000     		ar = 96390.9245094334m²