Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4529 / 5708
↖ ↑ ↗
← N 75.286578°
W130.242920°		 ← 310.28 m → N 75.286578°
W130.231933°		 →
↑
310.27 m
↓
↑
310.27 m
↓
N 75.283788°
W130.242920°		 ← 310.34 m →
96 278 m²		 N 75.283788°
W130.231933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138229370117188 y=0.174209594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138229370117188 × 215)
    floor (0.138229370117188 × 32768)
    floor (4529.5)     		tx = 4529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174209594726562 × 215)
    floor (0.174209594726562 × 32768)
    floor (5708.5)     		ty = 5708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4529 / 5708 ti = "15/4529/5708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4529/5708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4529 ÷ 215
    4529 ÷ 32768     		x = 0.138214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5708 ÷ 215
    5708 ÷ 32768     		y = 0.1741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.72357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27316778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1741943359375 × 2 - 1) × π
    0.651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.04709736137488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27316778} λ = -2.27316778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04709736137488))-π/2
    2×atan(7.74538638837222)-π/2
    2×1.44239749927732-π/2
    2.88479499855465-1.57079632675     		φ = 1.31399867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27316778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.242920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31399867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.286578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4529 KachelY 5708 -2.27316778 1.31399867 -130.242920 75.286578
    Oben rechts KachelX + 1 4530 KachelY 5708 -2.27297603 1.31399867 -130.231933 75.286578
    Unten links KachelX 4529 KachelY + 1 5709 -2.27316778 1.31394997 -130.242920 75.283788
    Unten rechts KachelX + 1 4530 KachelY + 1 5709 -2.27297603 1.31394997 -130.231933 75.283788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31399867-1.31394997) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dl = 310.26770000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31399867-1.31394997) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dr = 310.26770000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31399867) × R
    0.000191749999999935 × 0.253984526621913 × 6371000     		do = 310.277466613893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31394997) × R
    0.000191749999999935 × 0.254031629364028 × 6371000     		du = 310.335009172444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31399867)-sin(1.31394997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253984526621913-0.254031629364028)×R²
    abs(-2.27297603--2.27316778)×4.71027421151127e-05×R²
    0.000191749999999935×4.71027421151127e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.71027421151127e-05×40589641000000     		ar = 96278.0027450952m²