Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4529 / 5617
↖ ↑ ↗
← N 75.538369°
W130.242920°		 ← 305.08 m → N 75.538369°
W130.231933°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N 75.535625°
W130.242920°		 ← 305.14 m →
93 091 m²		 N 75.535625°
W130.231933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138229370117188 y=0.171432495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138229370117188 × 215)
    floor (0.138229370117188 × 32768)
    floor (4529.5)     		tx = 4529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171432495117188 × 215)
    floor (0.171432495117188 × 32768)
    floor (5617.5)     		ty = 5617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4529 / 5617 ti = "15/4529/5617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4529/5617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4529 ÷ 215
    4529 ÷ 32768     		x = 0.138214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5617 ÷ 215
    5617 ÷ 32768     		y = 0.171417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.72357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27316778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171417236328125 × 2 - 1) × π
    0.65716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06454639283658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27316778} λ = -2.27316778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06454639283658))-π/2
    2×atan(7.88172188115748)-π/2
    2×1.44459479027118-π/2
    2.88918958054236-1.57079632675     		φ = 1.31839325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27316778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.242920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31839325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.538369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4529 KachelY 5617 -2.27316778 1.31839325 -130.242920 75.538369
    Oben rechts KachelX + 1 4530 KachelY 5617 -2.27297603 1.31839325 -130.231933 75.538369
    Unten links KachelX 4529 KachelY + 1 5618 -2.27316778 1.31834536 -130.242920 75.535625
    Unten rechts KachelX + 1 4530 KachelY + 1 5618 -2.27297603 1.31834536 -130.231933 75.535625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31839325-1.31834536) × R
    4.78900000000504e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31839325-1.31834536) × R
    4.78900000000504e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31839325) × R
    0.000191749999999935 × 0.249731613619316 × 6371000     		do = 305.081941163087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27316778--2.27297603) × cos(1.31834536) × R
    0.000191749999999935 × 0.249777985942773 × 6371000     		du = 305.138591413537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31839325)-sin(1.31834536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249731613619316-0.249777985942773)×R²
    abs(-2.27297603--2.27316778)×4.63723234575275e-05×R²
    0.000191749999999935×4.63723234575275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.63723234575275e-05×40589641000000     		ar = 93091.3360057244m²