Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4529 / 13072
↖ ↑ ↗
← S 72.501722°
W 80.485840°		 ← 734.64 m → S 72.501722°
W 80.463867°		 →
↑
734.51 m
↓
↑
734.51 m
↓
S 72.508328°
W 80.485840°		 ← 734.37 m →
539 502 m²		 S 72.508328°
W 80.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276458740234375 y=0.797882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276458740234375 × 214)
    floor (0.276458740234375 × 16384)
    floor (4529.5)     		tx = 4529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797882080078125 × 214)
    floor (0.797882080078125 × 16384)
    floor (13072.5)     		ty = 13072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4529 / 13072 ti = "14/4529/13072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4529/13072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4529 ÷ 214
    4529 ÷ 16384     		x = 0.27642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13072 ÷ 214
    13072 ÷ 16384     		y = 0.7978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40474291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7978515625 × 2 - 1) × π
    -0.595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40474291} λ = -1.40474291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87145656116699))-π/2
    2×atan(0.153899334687169)-π/2
    2×0.152701279206196-π/2
    0.305402558412392-1.57079632675     		φ = -1.26539377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40474291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26539377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.501722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4529 KachelY 13072 -1.40474291 -1.26539377 -80.485840 -72.501722
    Oben rechts KachelX + 1 4530 KachelY 13072 -1.40435941 -1.26539377 -80.463867 -72.501722
    Unten links KachelX 4529 KachelY + 1 13073 -1.40474291 -1.26550906 -80.485840 -72.508328
    Unten rechts KachelX + 1 4530 KachelY + 1 13073 -1.40435941 -1.26550906 -80.463867 -72.508328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26539377--1.26550906) × R
    0.000115290000000101 × 6371000     		dl = 734.512590000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26539377--1.26550906) × R
    0.000115290000000101 × 6371000     		dr = 734.512590000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40474291--1.40435941) × cos(-1.26539377) × R
    0.00038349999999987 × 0.300677128439388 × 6371000     		do = 734.637963357446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40474291--1.40435941) × cos(-1.26550906) × R
    0.00038349999999987 × 0.30056717137195 × 6371000     		du = 734.369307618653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26539377)-sin(-1.26550906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300677128439388-0.30056717137195)×R²
    abs(-1.40435941--1.40474291)×0.000109957067437438×R²
    0.00038349999999987×0.000109957067437438×6371000²
    0.00038349999999987×0.000109957067437438×40589641000000     		ar = 539502.168264587m²