Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45289 / 94479
↖ ↑ ↗
← S 61.958324°
W 55.610047°		 ← 143.58 m → S 61.958324°
W 55.607300°		 →
↑
143.60 m
↓
↑
143.60 m
↓
S 61.959616°
W 55.610047°		 ← 143.58 m →
20 619 m²		 S 61.959616°
W 55.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345531463623047 y=0.720821380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345531463623047 × 217)
    floor (0.345531463623047 × 131072)
    floor (45289.5)     		tx = 45289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720821380615234 × 217)
    floor (0.720821380615234 × 131072)
    floor (94479.5)     		ty = 94479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45289 / 94479 ti = "17/45289/94479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45289/94479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45289 ÷ 217
    45289 ÷ 131072     		x = 0.345527648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94479 ÷ 217
    94479 ÷ 131072     		y = 0.720817565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345527648925781 × 2 - 1) × π
    -0.308944702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97057841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720817565917969 × 2 - 1) × π
    -0.441635131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.38743768570329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97057841} λ = -0.97057841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38743768570329))-π/2
    2×atan(0.249714332190784)-π/2
    2×0.244709781239752-π/2
    0.489419562479505-1.57079632675     		φ = -1.08137676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97057841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.610047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08137676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.958324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45289 KachelY 94479 -0.97057841 -1.08137676 -55.610047 -61.958324
    Oben rechts KachelX + 1 45290 KachelY 94479 -0.97053047 -1.08137676 -55.607300 -61.958324
    Unten links KachelX 45289 KachelY + 1 94480 -0.97057841 -1.08139930 -55.610047 -61.959616
    Unten rechts KachelX + 1 45290 KachelY + 1 94480 -0.97053047 -1.08139930 -55.607300 -61.959616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08137676--1.08139930) × R
    2.25400000000153e-05 × 6371000     		dl = 143.602340000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08137676--1.08139930) × R
    2.25400000000153e-05 × 6371000     		dr = 143.602340000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97057841--0.97053047) × cos(-1.08137676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.470113673633258 × 6371000     		do = 143.584816653462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97057841--0.97053047) × cos(-1.08139930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.470093779577375 × 6371000     		du = 143.578740496722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08137676)-sin(-1.08139930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470113673633258-0.470093779577375)×R²
    abs(-0.97053047--0.97057841)×1.98940558837069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98940558837069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98940558837069e-05×40589641000000     		ar = 20618.6793856372m²