Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45283 / 94469
↖ ↑ ↗
← S 61.945410°
W 55.626526°		 ← 143.65 m → S 61.945410°
W 55.623779°		 →
↑
143.60 m
↓
↑
143.60 m
↓
S 61.946701°
W 55.626526°		 ← 143.64 m →
20 627 m²		 S 61.946701°
W 55.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345485687255859 y=0.720745086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345485687255859 × 217)
    floor (0.345485687255859 × 131072)
    floor (45283.5)     		tx = 45283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720745086669922 × 217)
    floor (0.720745086669922 × 131072)
    floor (94469.5)     		ty = 94469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45283 / 94469 ti = "17/45283/94469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45283/94469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45283 ÷ 217
    45283 ÷ 131072     		x = 0.345481872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94469 ÷ 217
    94469 ÷ 131072     		y = 0.720741271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345481872558594 × 2 - 1) × π
    -0.309036254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97086603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720741271972656 × 2 - 1) × π
    -0.441482543945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.38695831670708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97086603} λ = -0.97086603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38695831670708))-π/2
    2×atan(0.249834066195636)-π/2
    2×0.244822484038052-π/2
    0.489644968076104-1.57079632675     		φ = -1.08115136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97086603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.626526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08115136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.945410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45283 KachelY 94469 -0.97086603 -1.08115136 -55.626526 -61.945410
    Oben rechts KachelX + 1 45284 KachelY 94469 -0.97081809 -1.08115136 -55.623779 -61.945410
    Unten links KachelX 45283 KachelY + 1 94470 -0.97086603 -1.08117390 -55.626526 -61.946701
    Unten rechts KachelX + 1 45284 KachelY + 1 94470 -0.97081809 -1.08117390 -55.623779 -61.946701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08115136--1.08117390) × R
    2.25400000000153e-05 × 6371000     		dl = 143.602340000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08115136--1.08117390) × R
    2.25400000000153e-05 × 6371000     		dr = 143.602340000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97086603--0.97081809) × cos(-1.08115136) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.470312601054117 × 6371000     		do = 143.645574208517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97086603--0.97081809) × cos(-1.08117390) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.470292709387108 × 6371000     		du = 143.639498781401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08115136)-sin(-1.08117390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470312601054117-0.470292709387108)×R²
    abs(-0.97081809--0.97086603)×1.98916670088312e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.98916670088312e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.98916670088312e-05×40589641000000     		ar = 20627.4043652582m²