Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45270 / 20842
↖ ↑ ↗
← N 54.642056°
E 68.675537°		 ← 353.45 m → N 54.642056°
E 68.681030°		 →
↑
353.53 m
↓
↑
353.53 m
↓
N 54.638876°
E 68.675537°		 ← 353.48 m →
124 960 m²		 N 54.638876°
E 68.681030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690773010253906 y=0.318031311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690773010253906 × 216)
    floor (0.690773010253906 × 65536)
    floor (45270.5)     		tx = 45270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318031311035156 × 216)
    floor (0.318031311035156 × 65536)
    floor (20842.5)     		ty = 20842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45270 / 20842 ti = "16/45270/20842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45270/20842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45270 ÷ 216
    45270 ÷ 65536     		x = 0.690765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20842 ÷ 216
    20842 ÷ 65536     		y = 0.318023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.690765380859375 × 2 - 1) × π
    0.38153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.19861424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318023681640625 × 2 - 1) × π
    0.36395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14339092973758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19861424} λ = 1.19861424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14339092973758))-π/2
    2×atan(3.13738901377805)-π/2
    2×1.26224005179284-π/2
    2.52448010358568-1.57079632675     		φ = 0.95368378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19861424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.675537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95368378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.642056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45270 KachelY 20842 1.19861424 0.95368378 68.675537 54.642056
    Oben rechts KachelX + 1 45271 KachelY 20842 1.19871011 0.95368378 68.681030 54.642056
    Unten links KachelX 45270 KachelY + 1 20843 1.19861424 0.95362829 68.675537 54.638876
    Unten rechts KachelX + 1 45271 KachelY + 1 20843 1.19871011 0.95362829 68.681030 54.638876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95368378-0.95362829) × R
    5.54899999999359e-05 × 6371000     		dl = 353.526789999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95368378-0.95362829) × R
    5.54899999999359e-05 × 6371000     		dr = 353.526789999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19861424-1.19871011) × cos(0.95368378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578682705689048 × 6371000     		do = 353.452319345372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19861424-1.19871011) × cos(0.95362829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578727959821496 × 6371000     		du = 353.479960016013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95368378)-sin(0.95362829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578682705689048-0.578727959821496)×R²
    abs(1.19871011-1.19861424)×4.52541324480471e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52541324480471e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52541324480471e-05×40589641000000     		ar = 124959.749766773m²