Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4527 / 6028
↖ ↑ ↗
← S 64.396938°
E 18.940430°		 ← 2 111.62 m → S 64.396938°
E 18.984375°		 →
↑
2 110.90 m
↓
↑
2 110.90 m
↓
S 64.415921°
E 18.940430°		 ← 2 110.16 m →
4 455 884 m²		 S 64.415921°
E 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55267333984375 y=0.73590087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55267333984375 × 213)
    floor (0.55267333984375 × 8192)
    floor (4527.5)     		tx = 4527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73590087890625 × 213)
    floor (0.73590087890625 × 8192)
    floor (6028.5)     		ty = 6028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4527 / 6028 ti = "13/4527/6028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4527/6028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4527 ÷ 213
    4527 ÷ 8192     		x = 0.5526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6028 ÷ 213
    6028 ÷ 8192     		y = 0.73583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5526123046875 × 2 - 1) × π
    0.105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33057286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33057286} λ = 0.33057286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48182544105518))-π/2
    2×atan(0.227222528242199)-π/2
    2×0.223428867163543-π/2
    0.446857734327085-1.57079632675     		φ = -1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33057286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.940430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4527 KachelY 6028 0.33057286 -1.12393859 18.940430 -64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 4528 KachelY 6028 0.33133985 -1.12393859 18.984375 -64.396938
    Unten links KachelX 4527 KachelY + 1 6029 0.33057286 -1.12426992 18.940430 -64.415921
    Unten rechts KachelX + 1 4528 KachelY + 1 6029 0.33133985 -1.12426992 18.984375 -64.415921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12393859--1.12426992) × R
    0.000331329999999852 × 6371000     		dl = 2110.90342999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12393859--1.12426992) × R
    0.000331329999999852 × 6371000     		dr = 2110.90342999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33057286-0.33133985) × cos(-1.12393859) × R
    0.000766989999999967 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 2111.61964503354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33057286-0.33133985) × cos(-1.12426992) × R
    0.000766989999999967 × 0.431835129353087 × 6371000     		du = 2110.15946197005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12393859)-sin(-1.12426992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.431835129353087)×R²
    abs(0.33133985-0.33057286)×0.000298820233003871×R²
    0.000766989999999967×0.000298820233003871×6371000²
    0.000766989999999967×0.000298820233003871×40589641000000     		ar = 4455884.03959737m²