Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4527 / 5713
↖ ↑ ↗
← N 75.272620°
W130.264893°		 ← 310.57 m → N 75.272620°
W130.253906°		 →
↑
310.59 m
↓
↑
310.59 m
↓
N 75.269827°
W130.264893°		 ← 310.62 m →
96 466 m²		 N 75.269827°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138168334960938 y=0.174362182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138168334960938 × 215)
    floor (0.138168334960938 × 32768)
    floor (4527.5)     		tx = 4527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174362182617188 × 215)
    floor (0.174362182617188 × 32768)
    floor (5713.5)     		ty = 5713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4527 / 5713 ti = "15/4527/5713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4527/5713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4527 ÷ 215
    4527 ÷ 32768     		x = 0.138153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5713 ÷ 215
    5713 ÷ 32768     		y = 0.174346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.72369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27355128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174346923828125 × 2 - 1) × π
    0.65130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04613862338248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27355128} λ = -2.27355128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04613862338248))-π/2
    2×atan(7.737964150735)-π/2
    2×1.4422756905039-π/2
    2.88455138100779-1.57079632675     		φ = 1.31375505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27355128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.264893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31375505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.272620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4527 KachelY 5713 -2.27355128 1.31375505 -130.264893 75.272620
    Oben rechts KachelX + 1 4528 KachelY 5713 -2.27335953 1.31375505 -130.253906 75.272620
    Unten links KachelX 4527 KachelY + 1 5714 -2.27355128 1.31370630 -130.264893 75.269827
    Unten rechts KachelX + 1 4528 KachelY + 1 5714 -2.27335953 1.31370630 -130.253906 75.269827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31375505-1.31370630) × R
    4.87499999999308e-05 × 6371000     		dl = 310.586249999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31375505-1.31370630) × R
    4.87499999999308e-05 × 6371000     		dr = 310.586249999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27355128--2.27335953) × cos(1.31375505) × R
    0.000191749999999935 × 0.254220150364096 × 6371000     		do = 310.565313825576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27355128--2.27335953) × cos(1.31370630) × R
    0.000191749999999935 × 0.254267298447886 × 6371000     		du = 310.622911775296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31375505)-sin(1.31370630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254220150364096-0.254267298447886)×R²
    abs(-2.27335953--2.27355128)×4.71480837902494e-05×R²
    0.000191749999999935×4.71480837902494e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.71480837902494e-05×40589641000000     		ar = 96466.2607854544m²