Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4527 / 13155
↖ ↑ ↗
← S 73.041829°
W 80.529785°		 ← 712.64 m → S 73.041829°
W 80.507812°		 →
↑
712.53 m
↓
↑
712.53 m
↓
S 73.048237°
W 80.529785°		 ← 712.38 m →
507 686 m²		 S 73.048237°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276336669921875 y=0.802947998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276336669921875 × 214)
    floor (0.276336669921875 × 16384)
    floor (4527.5)     		tx = 4527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802947998046875 × 214)
    floor (0.802947998046875 × 16384)
    floor (13155.5)     		ty = 13155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4527 / 13155 ti = "14/4527/13155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4527/13155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4527 ÷ 214
    4527 ÷ 16384     		x = 0.27630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13155 ÷ 214
    13155 ÷ 16384     		y = 0.80291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40550990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40550990} λ = -1.40550990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90328666251471))-π/2
    2×atan(0.149077844595529)-π/2
    2×0.147987962357688-π/2
    0.295975924715375-1.57079632675     		φ = -1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40550990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4527 KachelY 13155 -1.40550990 -1.27482040 -80.529785 -73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 4528 KachelY 13155 -1.40512640 -1.27482040 -80.507812 -73.041829
    Unten links KachelX 4527 KachelY + 1 13156 -1.40550990 -1.27493224 -80.529785 -73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 4528 KachelY + 1 13156 -1.40512640 -1.27493224 -80.507812 -73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27482040--1.27493224) × R
    0.000111839999999974 × 6371000     		dl = 712.532639999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27482040--1.27493224) × R
    0.000111839999999974 × 6371000     		dr = 712.532639999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40550990--1.40512640) × cos(-1.27482040) × R
    0.00038349999999987 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 712.639543604053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40550990--1.40512640) × cos(-1.27493224) × R
    0.00038349999999987 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 712.378164624045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27482040)-sin(-1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.291566501577403)×R²
    abs(-1.40512640--1.40550990)×0.000106978791000689×R²
    0.00038349999999987×0.000106978791000689×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106978791000689×40589641000000     		ar = 507685.81537457m²