Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4527 / 13075
↖ ↑ ↗
← S 72.521531°
W 80.529785°		 ← 733.83 m → S 72.521531°
W 80.507812°		 →
↑
733.68 m
↓
↑
733.68 m
↓
S 72.528129°
W 80.529785°		 ← 733.56 m →
538 303 m²		 S 72.528129°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276336669921875 y=0.798065185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276336669921875 × 214)
    floor (0.276336669921875 × 16384)
    floor (4527.5)     		tx = 4527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798065185546875 × 214)
    floor (0.798065185546875 × 16384)
    floor (13075.5)     		ty = 13075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4527 / 13075 ti = "14/4527/13075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4527/13075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4527 ÷ 214
    4527 ÷ 16384     		x = 0.27630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13075 ÷ 214
    13075 ÷ 16384     		y = 0.79803466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40550990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5960693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87260704675787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40550990} λ = -1.40550990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87260704675787))-π/2
    2×atan(0.153722377533012)-π/2
    2×0.152528411713466-π/2
    0.305056823426933-1.57079632675     		φ = -1.26573950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40550990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26573950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.521531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4527 KachelY 13075 -1.40550990 -1.26573950 -80.529785 -72.521531
    Oben rechts KachelX + 1 4528 KachelY 13075 -1.40512640 -1.26573950 -80.507812 -72.521531
    Unten links KachelX 4527 KachelY + 1 13076 -1.40550990 -1.26585466 -80.529785 -72.528129
    Unten rechts KachelX + 1 4528 KachelY + 1 13076 -1.40512640 -1.26585466 -80.507812 -72.528129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26573950--1.26585466) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dl = 733.684360000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26573950--1.26585466) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dr = 733.684360000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40550990--1.40512640) × cos(-1.26573950) × R
    0.00038349999999987 × 0.300347378789503 × 6371000     		do = 733.832293127499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40550990--1.40512640) × cos(-1.26585466) × R
    0.00038349999999987 × 0.300237533748458 × 6371000     		du = 733.563911100384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26573950)-sin(-1.26585466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300347378789503-0.300237533748458)×R²
    abs(-1.40512640--1.40550990)×0.000109845041044165×R²
    0.00038349999999987×0.000109845041044165×6371000²
    0.00038349999999987×0.000109845041044165×40589641000000     		ar = 538302.823077499m²