Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45267 / 94873
↖ ↑ ↗
← S 62.462836°
W 55.670471°		 ← 141.21 m → S 62.462836°
W 55.667725°		 →
↑
141.25 m
↓
↑
141.25 m
↓
S 62.464106°
W 55.670471°		 ← 141.20 m →
19 944 m²		 S 62.464106°
W 55.667725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345363616943359 y=0.723827362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345363616943359 × 217)
    floor (0.345363616943359 × 131072)
    floor (45267.5)     		tx = 45267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723827362060547 × 217)
    floor (0.723827362060547 × 131072)
    floor (94873.5)     		ty = 94873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45267 / 94873 ti = "17/45267/94873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45267/94873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45267 ÷ 217
    45267 ÷ 131072     		x = 0.345359802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94873 ÷ 217
    94873 ÷ 131072     		y = 0.723823547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345359802246094 × 2 - 1) × π
    -0.309280395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.97163302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723823547363281 × 2 - 1) × π
    -0.447647094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.40632482415359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97163302} λ = -0.97163302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40632482415359))-π/2
    2×atan(0.245042203484087)-π/2
    2×0.240307086061192-π/2
    0.480614172122384-1.57079632675     		φ = -1.09018215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97163302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.670471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09018215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.462836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45267 KachelY 94873 -0.97163302 -1.09018215 -55.670471 -62.462836
    Oben rechts KachelX + 1 45268 KachelY 94873 -0.97158508 -1.09018215 -55.667725 -62.462836
    Unten links KachelX 45267 KachelY + 1 94874 -0.97163302 -1.09020432 -55.670471 -62.464106
    Unten rechts KachelX + 1 45268 KachelY + 1 94874 -0.97158508 -1.09020432 -55.667725 -62.464106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09018215--1.09020432) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dl = 141.245070000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09018215--1.09020432) × R
    2.21700000000435e-05 × 6371000     		dr = 141.245070000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97163302--0.97158508) × cos(-1.09018215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462323860111413 × 6371000     		do = 141.205607094092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97163302--0.97158508) × cos(-1.09020432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462304201611791 × 6371000     		du = 141.199602882298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09018215)-sin(-1.09020432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462323860111413-0.462304201611791)×R²
    abs(-0.97158508--0.97163302)×1.9658499622488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9658499622488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9658499622488e-05×40589641000000     		ar = 19944.171826573m²