Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45263 / 95180
↖ ↑ ↗
← S 62.850133°
W 55.681458°		 ← 139.37 m → S 62.850133°
W 55.678711°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
S 62.851386°
W 55.681458°		 ← 139.37 m →
19 419 m²		 S 62.851386°
W 55.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345333099365234 y=0.726169586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345333099365234 × 217)
    floor (0.345333099365234 × 131072)
    floor (45263.5)     		tx = 45263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726169586181641 × 217)
    floor (0.726169586181641 × 131072)
    floor (95180.5)     		ty = 95180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45263 / 95180 ti = "17/45263/95180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45263/95180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45263 ÷ 217
    45263 ÷ 131072     		x = 0.345329284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95180 ÷ 217
    95180 ÷ 131072     		y = 0.726165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345329284667969 × 2 - 1) × π
    -0.309341430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97182477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726165771484375 × 2 - 1) × π
    -0.45233154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42104145233694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97182477} λ = -0.97182477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42104145233694))-π/2
    2×atan(0.24146241430806)-π/2
    2×0.236927288034757-π/2
    0.473854576069514-1.57079632675     		φ = -1.09694175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97182477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.681458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09694175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.850133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45263 KachelY 95180 -0.97182477 -1.09694175 -55.681458 -62.850133
    Oben rechts KachelX + 1 45264 KachelY 95180 -0.97177683 -1.09694175 -55.678711 -62.850133
    Unten links KachelX 45263 KachelY + 1 95181 -0.97182477 -1.09696362 -55.681458 -62.851386
    Unten rechts KachelX + 1 45264 KachelY + 1 95181 -0.97177683 -1.09696362 -55.678711 -62.851386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09694175--1.09696362) × R
    2.18699999998684e-05 × 6371000     		dl = 139.333769999161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09694175--1.09696362) × R
    2.18699999998684e-05 × 6371000     		dr = 139.333769999161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97182477--0.97177683) × cos(-1.09694175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456319530869526 × 6371000     		do = 139.371730392186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97182477--0.97177683) × cos(-1.09696362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456300070484825 × 6371000     		du = 139.365786689788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09694175)-sin(-1.09696362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456319530869526-0.456300070484825)×R²
    abs(-0.97177683--0.97182477)×1.946038470102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.946038470102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.946038470102e-05×40589641000000     		ar = 19418.774548506m²