Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45263 / 94869
↖ ↑ ↗
← S 62.457757°
W 55.681458°		 ← 141.23 m → S 62.457757°
W 55.678711°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.459027°
W 55.681458°		 ← 141.22 m →
19 939 m²		 S 62.459027°
W 55.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345333099365234 y=0.723796844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345333099365234 × 217)
    floor (0.345333099365234 × 131072)
    floor (45263.5)     		tx = 45263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723796844482422 × 217)
    floor (0.723796844482422 × 131072)
    floor (94869.5)     		ty = 94869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45263 / 94869 ti = "17/45263/94869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45263/94869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45263 ÷ 217
    45263 ÷ 131072     		x = 0.345329284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94869 ÷ 217
    94869 ÷ 131072     		y = 0.723793029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345329284667969 × 2 - 1) × π
    -0.309341430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.97182477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723793029785156 × 2 - 1) × π
    -0.447586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40613307655511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97182477} λ = -0.97182477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40613307655511))-π/2
    2×atan(0.24508919424317)-π/2
    2×0.24035141457405-π/2
    0.4807028291481-1.57079632675     		φ = -1.09009350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97182477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.681458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09009350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.457757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45263 KachelY 94869 -0.97182477 -1.09009350 -55.681458 -62.457757
    Oben rechts KachelX + 1 45264 KachelY 94869 -0.97177683 -1.09009350 -55.678711 -62.457757
    Unten links KachelX 45263 KachelY + 1 94870 -0.97182477 -1.09011566 -55.681458 -62.459027
    Unten rechts KachelX + 1 45264 KachelY + 1 94870 -0.97177683 -1.09011566 -55.678711 -62.459027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09009350--1.09011566) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09009350--1.09011566) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97182477--0.97177683) × cos(-1.09009350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462402465237339 × 6371000     		do = 141.229615122846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97182477--0.97177683) × cos(-1.09011566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462382816513216 × 6371000     		du = 141.223613896741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09009350)-sin(-1.09011566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462402465237339-0.462382816513216)×R²
    abs(-0.97177683--0.97182477)×1.9648724122745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9648724122745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9648724122745e-05×40589641000000     		ar = 19938.5655054627m²