Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45262 / 94887
↖ ↑ ↗
← S 62.480609°
W 55.684204°		 ← 141.09 m → S 62.480609°
W 55.681458°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
S 62.481877°
W 55.684204°		 ← 141.09 m →
19 901 m²		 S 62.481877°
W 55.681458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345325469970703 y=0.723934173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345325469970703 × 217)
    floor (0.345325469970703 × 131072)
    floor (45262.5)     		tx = 45262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723934173583984 × 217)
    floor (0.723934173583984 × 131072)
    floor (94887.5)     		ty = 94887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45262 / 94887 ti = "17/45262/94887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45262/94887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45262 ÷ 217
    45262 ÷ 131072     		x = 0.345321655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94887 ÷ 217
    94887 ÷ 131072     		y = 0.723930358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345321655273438 × 2 - 1) × π
    -0.309356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97187270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723930358886719 × 2 - 1) × π
    -0.447860717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.40699594074827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97187270} λ = -0.97187270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40699594074827))-π/2
    2×atan(0.244877806765785)-π/2
    2×0.240151995608451-π/2
    0.480303991216901-1.57079632675     		φ = -1.09049234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97187270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.684204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09049234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.480609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45262 KachelY 94887 -0.97187270 -1.09049234 -55.684204 -62.480609
    Oben rechts KachelX + 1 45263 KachelY 94887 -0.97182477 -1.09049234 -55.681458 -62.480609
    Unten links KachelX 45262 KachelY + 1 94888 -0.97187270 -1.09051448 -55.684204 -62.481877
    Unten rechts KachelX + 1 45263 KachelY + 1 94888 -0.97182477 -1.09051448 -55.681458 -62.481877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09049234--1.09051448) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09049234--1.09051448) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97187270--0.97182477) × cos(-1.09049234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462048788944957 × 6371000     		do = 141.09215615136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97187270--0.97182477) × cos(-1.09051448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.46202915387293 × 6371000     		du = 141.086160345907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09049234)-sin(-1.09051448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462048788944957-0.46202915387293)×R²
    abs(-0.97182477--0.97187270)×1.96350720274019e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96350720274019e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96350720274019e-05×40589641000000     		ar = 19901.1816631946m²