Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45261 / 95181
↖ ↑ ↗
← S 62.851386°
W 55.686951°		 ← 139.37 m → S 62.851386°
W 55.684204°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
S 62.852639°
W 55.686951°		 ← 139.36 m →
19 427 m²		 S 62.852639°
W 55.684204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345317840576172 y=0.726177215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345317840576172 × 217)
    floor (0.345317840576172 × 131072)
    floor (45261.5)     		tx = 45261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726177215576172 × 217)
    floor (0.726177215576172 × 131072)
    floor (95181.5)     		ty = 95181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45261 / 95181 ti = "17/45261/95181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45261/95181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45261 ÷ 217
    45261 ÷ 131072     		x = 0.345314025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95181 ÷ 217
    95181 ÷ 131072     		y = 0.726173400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345314025878906 × 2 - 1) × π
    -0.309371948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.97192064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726173400878906 × 2 - 1) × π
    -0.452346801757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42108938923656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97192064} λ = -0.97192064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42108938923656))-π/2
    2×atan(0.241450839625973)-π/2
    2×0.236916350996262-π/2
    0.473832701992524-1.57079632675     		φ = -1.09696362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97192064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.686951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09696362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.851386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45261 KachelY 95181 -0.97192064 -1.09696362 -55.686951 -62.851386
    Oben rechts KachelX + 1 45262 KachelY 95181 -0.97187270 -1.09696362 -55.684204 -62.851386
    Unten links KachelX 45261 KachelY + 1 95182 -0.97192064 -1.09698550 -55.686951 -62.852639
    Unten rechts KachelX + 1 45262 KachelY + 1 95182 -0.97187270 -1.09698550 -55.684204 -62.852639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09696362--1.09698550) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09696362--1.09698550) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97192064--0.97187270) × cos(-1.09696362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456300070484825 × 6371000     		do = 139.365786689788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97192064--0.97187270) × cos(-1.09698550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456280600983517 × 6371000     		du = 139.359840202944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09696362)-sin(-1.09698550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456300070484825-0.456280600983517)×R²
    abs(-0.97187270--0.97192064)×1.94695013075452e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94695013075452e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94695013075452e-05×40589641000000     		ar = 19426.8250008441m²