Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4526 / 3546
↖ ↑ ↗
← N 80.249670°
W130.275879°		 ← 206.88 m → N 80.249670°
W130.264893°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
N 80.247810°
W130.275879°		 ← 206.92 m →
42 801 m²		 N 80.247810°
W130.264893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138137817382812 y=0.108230590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138137817382812 × 215)
    floor (0.138137817382812 × 32768)
    floor (4526.5)     		tx = 4526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108230590820312 × 215)
    floor (0.108230590820312 × 32768)
    floor (3546.5)     		ty = 3546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4526 / 3546 ti = "15/4526/3546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4526/3546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4526 ÷ 215
    4526 ÷ 32768     		x = 0.13812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3546 ÷ 215
    3546 ÷ 32768     		y = 0.10821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.7237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27374302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10821533203125 × 2 - 1) × π
    0.7835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46165566928912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27374302} λ = -2.27374302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46165566928912))-π/2
    2×atan(11.7242068886936)-π/2
    2×1.48570864968426-π/2
    2.97141729936853-1.57079632675     		φ = 1.40062097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27374302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.275879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40062097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.249670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4526 KachelY 3546 -2.27374302 1.40062097 -130.275879 80.249670
    Oben rechts KachelX + 1 4527 KachelY 3546 -2.27355128 1.40062097 -130.264893 80.249670
    Unten links KachelX 4526 KachelY + 1 3547 -2.27374302 1.40058850 -130.275879 80.247810
    Unten rechts KachelX + 1 4527 KachelY + 1 3547 -2.27355128 1.40058850 -130.264893 80.247810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40062097-1.40058850) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40062097-1.40058850) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27374302--2.27355128) × cos(1.40062097) × R
    0.000191739999999996 × 0.169355175450755 × 6371000     		do = 206.880139903047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27374302--2.27355128) × cos(1.40058850) × R
    0.000191739999999996 × 0.169387176335067 × 6371000     		du = 206.91923140058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40062097)-sin(1.40058850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169355175450755-0.169387176335067)×R²
    abs(-2.27355128--2.27374302)×3.20008843119057e-05×R²
    0.000191739999999996×3.20008843119057e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.20008843119057e-05×40589641000000     		ar = 42800.586928706m²