Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4526 / 13156
↖ ↑ ↗
← S 73.048237°
W 80.551758°		 ← 712.36 m → S 73.048237°
W 80.529785°		 →
↑
712.21 m
↓
↑
712.21 m
↓
S 73.054642°
W 80.551758°		 ← 712.10 m →
507 259 m²		 S 73.054642°
W 80.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276275634765625 y=0.803009033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276275634765625 × 214)
    floor (0.276275634765625 × 16384)
    floor (4526.5)     		tx = 4526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803009033203125 × 214)
    floor (0.803009033203125 × 16384)
    floor (13156.5)     		ty = 13156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4526 / 13156 ti = "14/4526/13156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4526/13156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4526 ÷ 214
    4526 ÷ 16384     		x = 0.2762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13156 ÷ 214
    13156 ÷ 16384     		y = 0.802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40589339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40589339} λ = -1.40589339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90367015771167))-π/2
    2×atan(0.149020684919085)-π/2
    2×0.147932044925229-π/2
    0.295864089850458-1.57079632675     		φ = -1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40589339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4526 KachelY 13156 -1.40589339 -1.27493224 -80.551758 -73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 4527 KachelY 13156 -1.40550990 -1.27493224 -80.529785 -73.048237
    Unten links KachelX 4526 KachelY + 1 13157 -1.40589339 -1.27504403 -80.551758 -73.054642
    Unten rechts KachelX + 1 4527 KachelY + 1 13157 -1.40550990 -1.27504403 -80.529785 -73.054642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27493224--1.27504403) × R
    0.000111790000000056 × 6371000     		dl = 712.214090000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27493224--1.27504403) × R
    0.000111790000000056 × 6371000     		dr = 712.214090000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40589339--1.40550990) × cos(-1.27493224) × R
    0.000383489999999931 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 712.359588922342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40589339--1.40550990) × cos(-1.27504403) × R
    0.000383489999999931 × 0.291459566968593 × 6371000     		du = 712.098324704533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27493224)-sin(-1.27504403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.291459566968593)×R²
    abs(-1.40550990--1.40589339)×0.000106934608810838×R²
    0.000383489999999931×0.000106934608810838×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106934608810838×40589641000000     		ar = 507259.498875865m²