Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45259 / 95177
↖ ↑ ↗
← S 62.846372°
W 55.692444°		 ← 139.36 m → S 62.846372°
W 55.689697°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
S 62.847626°
W 55.692444°		 ← 139.35 m →
19 426 m²		 S 62.847626°
W 55.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345302581787109 y=0.726146697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345302581787109 × 217)
    floor (0.345302581787109 × 131072)
    floor (45259.5)     		tx = 45259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726146697998047 × 217)
    floor (0.726146697998047 × 131072)
    floor (95177.5)     		ty = 95177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45259 / 95177 ti = "17/45259/95177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45259/95177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45259 ÷ 217
    45259 ÷ 131072     		x = 0.345298767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95177 ÷ 217
    95177 ÷ 131072     		y = 0.726142883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345298767089844 × 2 - 1) × π
    -0.309402465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.97201651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726142883300781 × 2 - 1) × π
    -0.452285766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.42089764163808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97201651} λ = -0.97201651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42089764163808))-π/2
    2×atan(0.241497141683634)-π/2
    2×0.236960101949478-π/2
    0.473920203898957-1.57079632675     		φ = -1.09687612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97201651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.692444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09687612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.846372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45259 KachelY 95177 -0.97201651 -1.09687612 -55.692444 -62.846372
    Oben rechts KachelX + 1 45260 KachelY 95177 -0.97196858 -1.09687612 -55.689697 -62.846372
    Unten links KachelX 45259 KachelY + 1 95178 -0.97201651 -1.09689800 -55.692444 -62.847626
    Unten rechts KachelX + 1 45260 KachelY + 1 95178 -0.97196858 -1.09689800 -55.689697 -62.847626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09687612--1.09689800) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09687612--1.09689800) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97201651--0.97196858) × cos(-1.09687612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456377928509776 × 6371000     		do = 139.360490697025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97201651--0.97196858) × cos(-1.09689800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.45635845988211 × 6371000     		du = 139.35454571736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09687612)-sin(-1.09689800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456377928509776-0.45635845988211)×R²
    abs(-0.97196858--0.97201651)×1.94686276651646e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94686276651646e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94686276651646e-05×40589641000000     		ar = 19426.086857948m²