Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45257 / 94879
↖ ↑ ↗
← S 62.470454°
W 55.697937°		 ← 141.17 m → S 62.470454°
W 55.695190°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.471724°
W 55.697937°		 ← 141.16 m →
19 930 m²		 S 62.471724°
W 55.695190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345287322998047 y=0.723873138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345287322998047 × 217)
    floor (0.345287322998047 × 131072)
    floor (45257.5)     		tx = 45257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723873138427734 × 217)
    floor (0.723873138427734 × 131072)
    floor (94879.5)     		ty = 94879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45257 / 94879 ti = "17/45257/94879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45257/94879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45257 ÷ 217
    45257 ÷ 131072     		x = 0.345283508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94879 ÷ 217
    94879 ÷ 131072     		y = 0.723869323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345283508300781 × 2 - 1) × π
    -0.309432983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.97211239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723869323730469 × 2 - 1) × π
    -0.447738647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.40661244555131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97211239} λ = -0.97211239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40661244555131))-π/2
    2×atan(0.244971734237737)-π/2
    2×0.240240607422181-π/2
    0.480481214844363-1.57079632675     		φ = -1.09031511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97211239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.697937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09031511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.470454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45257 KachelY 94879 -0.97211239 -1.09031511 -55.697937 -62.470454
    Oben rechts KachelX + 1 45258 KachelY 94879 -0.97206445 -1.09031511 -55.695190 -62.470454
    Unten links KachelX 45257 KachelY + 1 94880 -0.97211239 -1.09033727 -55.697937 -62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 45258 KachelY + 1 94880 -0.97206445 -1.09033727 -55.695190 -62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09031511--1.09033727) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dl = 141.181360000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09031511--1.09033727) × R
    2.21600000001043e-05 × 6371000     		dr = 141.181360000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97211239--0.97206445) × cos(-1.09031511) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462205958911829 × 6371000     		do = 141.169597033289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97211239--0.97206445) × cos(-1.09033727) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 141.163595113785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09031511)-sin(-1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462205958911829-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.97206445--0.97211239)×1.96509943941603e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96509943941603e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96509943941603e-05×40589641000000     		ar = 19930.0920211936m²