Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45256 / 94855
↖ ↑ ↗
← S 62.439971°
W 55.700683°		 ← 141.28 m → S 62.439971°
W 55.697937°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
S 62.441242°
W 55.700683°		 ← 141.28 m →
19 964 m²		 S 62.441242°
W 55.697937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345279693603516 y=0.723690032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345279693603516 × 217)
    floor (0.345279693603516 × 131072)
    floor (45256.5)     		tx = 45256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723690032958984 × 217)
    floor (0.723690032958984 × 131072)
    floor (94855.5)     		ty = 94855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45256 / 94855 ti = "17/45256/94855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45256/94855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45256 ÷ 217
    45256 ÷ 131072     		x = 0.34527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94855 ÷ 217
    94855 ÷ 131072     		y = 0.723686218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.3094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97216032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723686218261719 × 2 - 1) × π
    -0.447372436523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.40546195996043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97216032} λ = -0.97216032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40546195996043))-π/2
    2×atan(0.245253732874731)-π/2
    2×0.240506623730907-π/2
    0.481013247461814-1.57079632675     		φ = -1.08978308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97216032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.700683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08978308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.439971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45256 KachelY 94855 -0.97216032 -1.08978308 -55.700683 -62.439971
    Oben rechts KachelX + 1 45257 KachelY 94855 -0.97211239 -1.08978308 -55.697937 -62.439971
    Unten links KachelX 45256 KachelY + 1 94856 -0.97216032 -1.08980526 -55.700683 -62.441242
    Unten rechts KachelX + 1 45257 KachelY + 1 94856 -0.97211239 -1.08980526 -55.697937 -62.441242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08978308--1.08980526) × R
    2.21800000002048e-05 × 6371000     		dl = 141.308780001305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08978308--1.08980526) × R
    2.21800000002048e-05 × 6371000     		dr = 141.308780001305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97216032--0.97211239) × cos(-1.08978308) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.462677683103116 × 6371000     		do = 141.284196547823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97216032--0.97211239) × cos(-1.08980526) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.462658019829959 × 6371000     		du = 141.278192130816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08978308)-sin(-1.08980526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462677683103116-0.462658019829959)×R²
    abs(-0.97211239--0.97216032)×1.96632731569446e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96632731569446e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96632731569446e-05×40589641000000     		ar = 19964.273210084m²