Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4525 / 5712
↖ ↑ ↗
← N 75.275413°
W130.286865°		 ← 310.51 m → N 75.275413°
W130.275879°		 →
↑
310.59 m
↓
↑
310.59 m
↓
N 75.272620°
W130.286865°		 ← 310.57 m →
96 448 m²		 N 75.272620°
W130.275879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138107299804688 y=0.174331665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138107299804688 × 215)
    floor (0.138107299804688 × 32768)
    floor (4525.5)     		tx = 4525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174331665039062 × 215)
    floor (0.174331665039062 × 32768)
    floor (5712.5)     		ty = 5712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4525 / 5712 ti = "15/4525/5712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4525/5712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4525 ÷ 215
    4525 ÷ 32768     		x = 0.138092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5712 ÷ 215
    5712 ÷ 32768     		y = 0.17431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.72381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27393477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17431640625 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04633037098096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27393477} λ = -2.27393477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04633037098096))-π/2
    2×atan(7.73944802903853)-π/2
    2×1.44230006129533-π/2
    2.88460012259066-1.57079632675     		φ = 1.31380380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27393477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.286865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31380380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.275413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4525 KachelY 5712 -2.27393477 1.31380380 -130.286865 75.275413
    Oben rechts KachelX + 1 4526 KachelY 5712 -2.27374302 1.31380380 -130.275879 75.275413
    Unten links KachelX 4525 KachelY + 1 5713 -2.27393477 1.31375505 -130.286865 75.272620
    Unten rechts KachelX + 1 4526 KachelY + 1 5713 -2.27374302 1.31375505 -130.275879 75.272620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31380380-1.31375505) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dl = 310.586250000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31380380-1.31375505) × R
    4.87500000001528e-05 × 6371000     		dr = 310.586250000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27393477--2.27374302) × cos(1.31380380) × R
    0.000191749999999935 × 0.254173001676135 × 6371000     		do = 310.507715137777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27393477--2.27374302) × cos(1.31375505) × R
    0.000191749999999935 × 0.254220150364096 × 6371000     		du = 310.565313825576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31380380)-sin(1.31375505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254173001676135-0.254220150364096)×R²
    abs(-2.27374302--2.27393477)×4.71486879604632e-05×R²
    0.000191749999999935×4.71486879604632e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.71486879604632e-05×40589641000000     		ar = 96448.3715402064m²