Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4525 / 13082
↖ ↑ ↗
← S 72.567668°
W 80.573731°		 ← 731.96 m → S 72.567668°
W 80.551758°		 →
↑
731.84 m
↓
↑
731.84 m
↓
S 72.574250°
W 80.573731°		 ← 731.69 m →
535 574 m²		 S 72.574250°
W 80.551758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276214599609375 y=0.798492431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276214599609375 × 214)
    floor (0.276214599609375 × 16384)
    floor (4525.5)     		tx = 4525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798492431640625 × 214)
    floor (0.798492431640625 × 16384)
    floor (13082.5)     		ty = 13082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4525 / 13082 ti = "14/4525/13082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4525/13082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4525 ÷ 214
    4525 ÷ 16384     		x = 0.27618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13082 ÷ 214
    13082 ÷ 16384     		y = 0.7984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40627689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40627689} λ = -1.40627689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8752915131366))-π/2
    2×atan(0.153310268372943)-π/2
    2×0.152125791220968-π/2
    0.304251582441936-1.57079632675     		φ = -1.26654474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40627689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.573731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26654474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.567668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4525 KachelY 13082 -1.40627689 -1.26654474 -80.573731 -72.567668
    Oben rechts KachelX + 1 4526 KachelY 13082 -1.40589339 -1.26654474 -80.551758 -72.567668
    Unten links KachelX 4525 KachelY + 1 13083 -1.40627689 -1.26665961 -80.573731 -72.574250
    Unten rechts KachelX + 1 4526 KachelY + 1 13083 -1.40589339 -1.26665961 -80.551758 -72.574250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26654474--1.26665961) × R
    0.000114869999999989 × 6371000     		dl = 731.836769999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26654474--1.26665961) × R
    0.000114869999999989 × 6371000     		dr = 731.836769999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40627689--1.40589339) × cos(-1.26654474) × R
    0.000383500000000092 × 0.299579219520503 × 6371000     		do = 731.955466101401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40627689--1.40589339) × cos(-1.26665961) × R
    0.000383500000000092 × 0.299469623359227 × 6371000     		du = 731.687692156874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26654474)-sin(-1.26665961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299579219520503-0.299469623359227)×R²
    abs(-1.40589339--1.40627689)×0.000109596161275372×R²
    0.000383500000000092×0.000109596161275372×6371000²
    0.000383500000000092×0.000109596161275372×40589641000000     		ar = 535573.941274421m²