Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4524 / 4739
↖ ↑ ↗
← S 27.176469°
E 18.808594°		 ← 4 347.04 m → S 27.176469°
E 18.852539°		 →
↑
4 346.23 m
↓
↑
4 346.23 m
↓
S 27.215556°
E 18.808594°		 ← 4 345.52 m →
18 889 954 m²		 S 27.215556°
E 18.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55230712890625 y=0.57855224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55230712890625 × 213)
    floor (0.55230712890625 × 8192)
    floor (4524.5)     		tx = 4524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57855224609375 × 213)
    floor (0.57855224609375 × 8192)
    floor (4739.5)     		ty = 4739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4524 / 4739 ti = "13/4524/4739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4524/4739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4524 ÷ 213
    4524 ÷ 8192     		x = 0.55224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4739 ÷ 213
    4739 ÷ 8192     		y = 0.5784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.493174823291138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32827189} λ = 0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493174823291138))-π/2
    2×atan(0.610684497859347)-π/2
    2×0.548238730694598-π/2
    1.0964774613892-1.57079632675     		φ = -0.47431887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47431887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.176469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4524 KachelY 4739 0.32827189 -0.47431887 18.808594 -27.176469
    Oben rechts KachelX + 1 4525 KachelY 4739 0.32903888 -0.47431887 18.852539 -27.176469
    Unten links KachelX 4524 KachelY + 1 4740 0.32827189 -0.47500106 18.808594 -27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 4525 KachelY + 1 4740 0.32903888 -0.47500106 18.852539 -27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47431887--0.47500106) × R
    0.000682189999999971 × 6371000     		dl = 4346.23248999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47431887--0.47500106) × R
    0.000682189999999971 × 6371000     		dr = 4346.23248999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32827189-0.32903888) × cos(-0.47431887) × R
    0.000766989999999967 × 0.889604022247239 × 6371000     		do = 4347.04408546796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32827189-0.32903888) × cos(-0.47500106) × R
    0.000766989999999967 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 4345.52054818669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47431887)-sin(-0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889604022247239-0.889292236843915)×R²
    abs(0.32903888-0.32827189)×0.000311785403324438×R²
    0.000766989999999967×0.000311785403324438×6371000²
    0.000766989999999967×0.000311785403324438×40589641000000     		ar = 18889954.1486942m²